既发散又收敛的无穷级数

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1、№．4陕西科技大学学报Aug．2004·12O·JOURNALOFSHAANXIUNIVERSITYOFSCIENCE＆TECHNOLOGYVoI．22’文章编号：1O0O一58ii(2004)O2一O12O一03既发散又收敛的无穷级数张慧(陕西科技大学理学院，陕西咸阳712081)摘要：调和级数是发散的，这是早就有的结论，但作者在本文中证明了它是收敛的，这是数学理论上的一个突破。关键词：调和级数；发散；收敛；绝对收敛中图分类号：O173文献标识码：A我们可以用10种方法证明调和级数1是发散的(参见《高等数学题解词典》)，这

2、里只给出一种比较简单的反证法：假设调和级数1收敛，记其和为s，即s一考虑该级数的部分和s一1++．．．+sz一1+1+-．·++++-．-+sz一++-．-+>++．．·+一翌一+2根据函数极限的保号性，有lim(Sz一S)≥()n—+o。厶但是，由假设可得1im(S2一S)一1ireS2一1ireS一S—S三0H—+o。，卜’o。n—+o。这与()式矛盾，说明假设是错误的，因此调和级数吉发散。证毕。现将调和级数1中分母含有9的项删去后所得的级数为1+1+⋯+吉++⋯+++⋯+1j·收稿日期：2003—08—1】作者简介：张

3、慧f1959一)，女，陕西省户县人．副教授．研究方向：模式计算第4期张慧：既发墨竺竺+．．．++．．．++而1+．_．++．．’因为正项级数不论收敛与否都可以随意加括号，所以将(1)式前8项括在一起，以后每9项括在一起，+一m一～+一m得一一一(+1+⋯+丢)+(+⋯+)+(去+⋯++)～++．_．+(+．_．+)+(而1+．_．+)+．．·一m～一<～<级数(1)与(2)的敛散性应该是一致的。<一Om～．<一面1因为1++⋯+丢<3(这是容易验证的)，所以对于(2)式中分母为两位数的项，有。一O．一O+⋯十<而一这些不等式

4、左边之和+⋯++⋯++⋯+丽1+⋯+<嘉<(+1+⋯+吉)<×3+⋯+<丽9对于(2)式中分母为三位数的项，有IO0+l⋯+土108<1O0这些不等式左边之和+．．．+++⋯+<。×一()+-．一+<一专×这些不等式左边之和+⋯+一1+⋯+<<200。。208+。⋯+288<×9<9×一一2(l)281+。⋯+。288<281

5、×3由数学归纳法知，(2)式中分母为位数的项总和将小于3x()一，一1，2，3，⋯，于是I+1+⋯+吉)+(+⋯+)+⋯+(+⋯+矗)+(而1+⋯+)+⋯<3十x3+()x3十()×3+⋯+()×3+⋯．122·陕西科技大学学报弟22巷==：3El+~o+()。+()。+⋯+()一+⋯]_3。。因此正项级数(2)收敛，从而级数(1)收敛，且为绝对收敛(级数(1)是正项级数)。再考虑调和级数妻1中分母含有9的项所构成的级数：n=l告+++⋯+由++⋯+1++击+．．·+两1++．．．+击+．．·(3)将该级数中分母位数相同的项

6、括在一起，即告+(++⋯+)+(而1+币1+⋯+击+⋯+丽1)+⋯(4)由于丢小于级数(1)中分母为一位数的各项之和，++⋯+小于级数(1)中分母为两位数的各项之和，而1++⋯+击+⋯+丽1小于级数(1)中分母为3位数的各项之和，⋯⋯，而级数(1)是绝对收敛的，所以级数(4)是绝对收敛的，从而级数(3)是绝对收敛的，且其和不超过30。把级数(1)和级数(3)相加，所得级数为(1+1+⋯+1+⋯+而1+⋯)+1++⋯+两1+⋯+击+⋯(5)根据收敛级数的性质，知级数(5)绝对收敛，且其和不超过60。由于绝对收敛级数可以任意调换

7、各项位置而不改变其收敛性，所以将级数(5)的各项由大到小排所得1新级数仍然收敛，而这个新级数正好是调和级数，所以调和级数是收敛的。n=l无穷级数要么收敛，要么发散，二者必居其一，这是早就有的结论，而作者如今证明了调和级数1既是发散的，又是收敛的，这就出现了矛盾，这个矛盾有待解决。参考文献(13同济大学应用数学系编．微积分[M]．北京：高等教育出版社，2002，256．C23蒋传章等编．高等数学题解词典[M]．西安：陕西科学技术出版社，1993，1587~1592(33娄洁．调和级数的一个有趣性质[J]．数学学习，1996，(

8、2)：6．INFINITESERIESWITHDIVERGENCEANDCONVERGENCEZHANGHui(FacuhyofScience，ShaanxiUniversityofScience&Technology，Xianyang712081，China)Abstract：Iteae