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1、3RECHERCHESSU1RLESFONCTIONSELLIPTIOUES(parM.N.H.ABEL).SECONDMIsDunsles~recherehessurlesfonetionselliptiques,,insgr6esdansletomeseconddeeejournalj'aifairvoircommentonpourratoujoursrdsoudrel'6quationdudegr6(2n+i)2d'ohd6pendladivisionen2n+iparties6galesd'unef
2、onetionelliptique;maisjemesuiseontentd~ddmontrerseulementlapossibilit6d'unetellerdsolution,sansentrerdansdesd6tailssurl'expressiondesracines.UnenotedeM.JACOBIins6rdedartslet.II[,p.86,rn'afairrevenirsureetobjet;etdtantparvenuheetteoccasionplusieurspropridtd
3、snouvellesdesfonctionselliptiquesjevaiscontinuerieiruespremi6resrecherches.EnfaisantF0=xOhauraseloncequ'onavud~mslewIiIdumdmoirecitd(I)~(2n-~-1)0=RohRunefonctionrationnelledex,lenum6rateur6tantdudegr6(2n+I)~etleddnominateurdudegr6(2n-4-i)~--i.L'dquation(I)
4、estdonedudegr6(2n+x)~etlesraeinespourront~trereprdsentdesparlaformule'xendonnant~m.et/xrouteslesvaleursenti~resdepuiszdrojusqu'~2nincl.4N.H.Abel.Soientpourabrdger2<02('~i(3)2,~+I2,,+x-fll'expressiondesracinessera"(4)x=g(0+ma+,~fl).Celaposdnousallonsd6montr
5、erleth~orbmesuivant:Th~or~meI.Soitrunefonetionenti&equeleonquedesquantit&g(O+ma+pfl)quirestelam~meenchangeant0enO+aet0+ft.Soitvl'exposantleplusgranddelaquaniitdg0danslafonction90;onauratoujours:(5)~bO=p+q.f(2n+x)O.F(2n+I)Ooffpetqsontdeuxfonetionsentidresde
6、~(2n+[)0;lapremi6redudegrdvetlaseeondedudegrdv--2.Ddmonstration.Envertudelaformule(Io),pag.to5,ona~(0+'maAc~fl)=q~O.f(ma+/~fi).F(ma+/Lfl)+f(ma+f#~).fO.FO(6)d'ohilsuitqu'onpourraexprimerrrationnellementengOet]cO.FO.Orleearrdde/O.FOestrationnelen90,savoir(fO
7、.FO)~-~(i--c2~20)(I+e~g20),(loneonpourrafaireensortequel'expressionde90neeontiennelaquantitdfO.FOqu'~lapremierepuissance.Onpoun'adonefaire:(7)~0=r"I~+CngO~.fOI.Fooh~b,{gO}st~{9,0}sontdesfonetionsrationnellesdeVO.Sil'onmeto9--0~laplacede0onauraenremarquantq
8、ueF(oJ--0)=gO;f(oo--O)=--fO;F(o)--0)=FO"(s)0(~--0)=r--rRecherchessurlesfonctionselliptiques.5Desdquations(7)et(8)onddduit:(9)rIt=~.{rI+r8)};(,o)~,~8'I.f8.~F8='.{rr8}.Considdronsd'abordlafonctionrIEnymettant8+
