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《线性代数课后习题答案第——章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章行列式4.计算下列各行列式：（1）；（2）；（3）；（4）解(1)===0(2)=0(3)===(4)=94==5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2)94(3)(4)=====(5)用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即94所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得，，，证明.证明 同理可证7.计算下列各行列式（）：94(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4);(5);(6),.解(1)94()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得
2、再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式94(4)由此得递推公式：即而得(5)94=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组：94解 (1);(2)()94．9.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则即得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.9410.有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.94第二章 矩阵及其运算1.已知线性变换:,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知:,故,.2.已知两个线性变换,,求从z1,z2,
3、z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知94,所以有.3.设,,求3AB-2A及ATB.解,.4.计算下列乘积:(1);解.(2);94解=(1´3+2´2+3´1)=(10).(3);解.(4);解.(5);解=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3).5.设,,问:(1)AB=BA吗?94解AB¹BA.因为,,所以AB¹BA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?解(A+B)2¹A2+2AB+B2.因为,,但,所以(A+B)2¹A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解(A+B)(A-B)¹
4、A2-B2.因为,,,而,故(A+B)(A-B)¹A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0,则A=0;解取,则A2=0,但A¹0.(2)若A2=A,则A=0或A=E;94解取,则A2=A,但A¹0且A¹E.(3)若AX=AY,且A¹0,则X=Y.解取,,,则AX=AY,且A¹0,但X¹Y.7.设,求A2,A3,×××,Ak.解,,××××××,.8.设,求Ak.解首先观察,,,94,××××××,.用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A
5、,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.94证明充分性:因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性:因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.
6、A
7、=1,故A-1存在.因为,故.(2);解.
8、A
9、=1¹0,故A-1存在.因为,所以.(3);解.
10、A
11、=2¹0,故A-1存在.因为94,所以.(4)(a1a2×××an¹0).解,
12、由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:(1);解.(2);解94.(3);解.(4).解.13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解方程组可表示为,94故,从而有.(2).解方程组可表示为,故,故有.14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=
13、(E-A)+(A-A2)+A2-×××-Ak-1+(Ak-1-Ak)94=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+×××+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2
