7机械振动习题思考题

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1、习题7-1.原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：,在本题中，，所以；振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。所以：即7-2.有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.

2、8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。解：振动方程：我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率：，周期：（2）根据初始条件：可解得：所以得到振动方程：7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=5cm；又ω=,即（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3cm的位置，所以：那么此时的那么速度的大小为7-4.一

3、质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时,位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：由题已知A=12×１０-2m，T=2.0s∴ω=2π/T=πrad·s-1又，t=0时，，∴由旋转矢量图，可知：故振动方程为(2)将t=0.5s代入得方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(3)由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动即x０=-A/2，且v＜0，故t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以：∴t=Δ/ω=(π/3)／

4、(π)=1/3s7-5.两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在处，且向左运动时，另一个质点2在处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在处，且向左运动时，相位为π/3，而质点2在处，且向右运动，相位为4π/3。所以它们的相位差为π。7-6.质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：可知浸入水中为a处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心

5、的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力令可得到：可见它是一个简谐振动。周期为：7-7.证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和可得：所以：代入频率计算式，可得：7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？EP=当物体的动能和势能各占总能量的一半：所以：。7-9.两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)（1）求合振动的振幅。（2）求合振动

6、的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。先分析两个振动的状态：两者处于反相状态，（反相，）所以合成结果：振幅振动相位判断：当；当；所以本题中，振动方程：7-10.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知=(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×／２=0.01∴A２=0.1m设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ即cosθ==0即θ=π/2，这说

7、明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/27-11.一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？解：根据阻尼振动的特征，振幅为若已知，经过后，振幅变为，可得：那么当振幅减为可求得t=21s。7-12.某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求:（1）求振子在水中的振动周期（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（1）有阻尼时（2）7-13.试画出和的李萨如图形。略，可参考

8、书上的图形。7-14.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1）（2）（3）试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。（1）则方程化为：，轨迹为一般的椭圆