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《版高考数学一轮复习第章立体几何.立体几何中的向量方法学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7．7 立体几何中的向量方法[知识梳理]1．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2⇔v1＝λv2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u⇔v·u＝0.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2⇔u1＝λu2.2．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v
2、1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u⇔v＝λu.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.3．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β34范围(0，π)求法cosθ＝cosβ＝4．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝
3、cosθ
4、＝，φ的取值范围是.5．求
5、二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
6、cosθ
7、＝
8、cos〈n1，n2〉
9、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．[诊断自测]1．概念思辨(1)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(
10、 )(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α34－a－β的大小是π－θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(选修A2－1P111A组T1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )A．60°B．75°C．90°D．105°答案 C解析 取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则B，C1，A，B1，从而＝，＝.所以cos〈，〉＝＝0，所以AB1与C1B所成的角为90°
11、.故选C.(2)(选修A2－1P104T2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，写出平面A1ED的一个法向量：________.答案 (1,2,2)(答案不唯一)34解析 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n＝(1，y，z)，则即解得所以n＝(1,2,2)．3．小题热身(1)(2018·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1A
12、DD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( )A.B.C.D.答案 C解析 取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，－1,0)，D1(0,2，)，1＝(－2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为θ，∴sinθ＝＝，则cosθ＝，∴tanθ＝.故选C.(2)(2017·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．答案 45°34解析
13、 如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD.又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0,1,0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.题型1 利用空间向量研究空间中的位置关系角度1 利用空间向量证明平行与垂直问题 (2018·青岛模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B
14、1C1綊BC，AA1⊥平面BAC.求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明 ∵AA1⊥平面BAC.∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.又∵A
