概率与数理统计习题选5

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1、191《概率论》计算与证明题第五章有限定理1、设是单调非降函数，且，对随机变量，若，则对任意，。2、为非负随机变量，若，则对任意，。3、若，为随机变量，且，则关于任何，。4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？5、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）；（2）；（3）。6、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立。7、已知随机变量序列的方差有界，，并且当时，相关系数，证明对成立大数定律。8、对随机变量序列，若记，，则服从

2、大数定律的充要条件是。9、用斯特灵公式证明：当，而时，。10、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。191《概率论》计算与证明题11、求证，在时有不等式。12、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，，则不管是如何大的常数，总有。13、用车贝晓夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。14、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面

3、概率：并进行比较。这里是次贝努里试验中成功总次数，为每次成功的概率。15、现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与之差小于1%的概率是多少？16、种子中良种占，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？17、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。18、设分布函数列弱收敛于连续的分布函数，试证这收敛对是一致的。19、

4、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。20、若的概率分布为，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。21、随机变量序列具有分布函数，且，又依概率收敛于常数。试证：（I）的分布函数收敛于；（II）的分布函数收敛于。22、试证：（1）；（2）；（3）；（4）；191《概率论》计算与证明题（5）是常数；（6）；（7）常数；（8）；（9）常数；（10）是随机变量；（11）。23、设。而是上的连续函数，试证。24、若是单调下降的正随机变量序列，且，证明。25、若是独立随机变量序列，是整值随机变量，，且与独立，求的

5、特征函数。26、若是非负定函数，试证（1）是实的，且；（2）；（3）。27、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。28、若母体的数学期望，抽容量为的子样求其平均值，为使，问应取多大值？29、若为相互独立随机变量序列，具有相同分布，而，试证的分布收敛于上的均匀分布。30、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。31、用特征函数法证明，普阿松分布当时，渐近正态分布。计算的特征函数，并求时的极限。32、设独立同分布，，则大数定律成立。33、若是相互独立的随机变量序列，均服从，试证及191《概率论》计算与证明题渐近正

6、态分布。34、设是独立随机变量序列，均服从均匀分布，令，试证，这里是常数，并求。35、若是独立同分布随机变量序列，，若是一个有界的连续函数，试证。36、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证。37、设是上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列，在上一致收敛于。38、设是独立随机变量序列，试证的充要条件为，对任意有。39、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。40、举例说明波雷尔——康特拉引理（i）之逆不成立。41、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若，则必有。42、

7、若是独立随机变量序列，方差有限，记。（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明（2）对上述，证明若，则收敛；（3）利用上题结果证明对成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。43、（1）设为常数列，令，试证收敛的充要条件是；191《概率论》计算与证明题（2）(Kronecker引理)对实数列，若收敛，则。44、设是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对成立大数定律的充要条件为。45、设是独立同分布随机变量序列，且对每一个有相同分布，那么，若，则必须是变量。46、设是独立随机变量序列，且服从，试证序列：（1）成立中心极限定理；（2）不满足费

8、勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。47、若是独立随机变量序列，服从均匀分布，对服从，证明对成立中心极限定理，但不满足费勒条件。48、在普阿松试验中，第次试验时事件A出现的概率为，不出现的概率为，各次试验是独立的，以记前次试验中事件A出现的次数，试证：（1）；（2）