第75炼几何问题的转换

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时间:2018-08-04

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1、第75炼几何问题的转换一、基础知识:在圆锥曲线问题中,经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化,合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用,极大的简化运算的复杂程度,在本节中,将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中,向量是一个重要的桥梁:一方面,几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量;另一方面,向量在坐标系中能够坐标化,从而将几何图形的要素转化为坐标的运算,与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化:(1)角度问题:①若与直线倾斜角有关,则可以考虑转化为斜率②若需要判断角是锐角还是钝角,则可将

2、此角作为向量的夹角,从而利用向量数量积的符号进行判定(2)点与圆的位置关系①可以利用圆的定义,转化为点到圆心距离与半径的联系,但需要解出圆的方程,在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径,则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定:若点在圆内,为钝角(再转为向量:;若点在圆上,则为直角();若点在圆外,则为锐角()(3)三点共线问题①通过斜率:任取两点求出斜率,若斜率相等,则三点共线②通过向量:任取两点确定向量,若向量共线,则三点共线(4)直线的平行垂直关系:可转化为对应向量的平行与垂直问题,从而转为坐标运算:,则共线;(5

3、)平行(共线)线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系(6)平行(共线)线段的乘积问题:可将线段变为向量,从而转化为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向)3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”:设不共线的三点,则的重心(2)三角形的“垂心”:伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直,从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”:伴随着角平分线,由角平分线性质可知(如图):在的角平分线上(4)是以为邻边的平行四边形的顶点(5)是以为邻边的菱形的顶点:在垂直平分线上(6)共线线段长度的乘积:若共线,则线段

4、的乘积可转化为向量的数量积,从而简化运算,(要注意向量的夹角)例如:,二、典型例题:例1:如图:分别是椭圆的左右顶点,为其右焦点,是的等差中项,是的等比中项(1)求椭圆的方程(2)已知是椭圆上异于的动点,直线过点且垂直于轴,若过作直线,并交直线于点。证明:三点共线解:(1)依题意可得:是的等差中项是的等比中项椭圆方程为:(2)由(1)可得:设,设,联立直线与椭圆方程可得:另一方面,因为,联立方程:三点共线例2:已知椭圆的右焦点为,为上顶点,为坐标原点,若△的面积为,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线交椭

5、圆于,两点,且使点为△的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)椭圆方程为:(2)设,由(1)可得:为△的垂心设由为△的垂心可得:①因为在直线上,代入①可得:即②考虑联立方程:得.,.代入②可得:解得:或当时,△不存在,故舍去当时,所求直线存在,直线的方程为小炼有话说:在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件,在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)例3:如图,椭圆的一个焦点是,为坐标原点.(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点

6、构成正三角形,求椭圆的方程;(2)设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点,若直线绕点任意转动,恒有,求的取值范围.解:(1)由图可得: 由正三角形性质可得:       椭圆方程为:(2)设,为钝角联立直线与椭圆方程:,整理可得:恒成立即恒成立解得:的取值范围是例4:设分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为(1)求椭圆的方程;(2)设为直线上不同于点的任意一点,若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明:点在以为直径的圆内解:(1)依题意可得,且到右焦点距离的最小值为可解得:椭圆方程为(2)

7、思路:若要证在以为直径的圆内,只需证明为钝角,即为锐角,从而只需证明,因为坐标可求,所以只要设出直线(斜率为),联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标,从而可用表示。即可判断的符号,进而完成证明解:由(1)可得,设直线的斜率分别为,,则联立与椭圆方程可得:,消去可得:,即设,因为在直线上,所以,即为锐角,为钝角在以为直径的圆内例5:如图所示,已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,与椭圆的交点为,是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由解:依题意可知抛物线焦点,设,不妨设则设考虑联立直线与抛物线方程

8、:,消去可得:①联立直线与椭圆方程:,整理可得:②由①②可得:,解得:所以存在满足条件的直线,其方程为:例6:在平面直角坐标系中,已知抛物线的准线方程为,过点作抛物线的切线,切点为(异于点),直线过点与抛物线交于两点,与直线交于点(1)求抛物线的方程(2)试问的值是否为定值?若是,求出定值

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