数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

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1、数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲数学分析Ⅰ教学大纲（试行草案）（2006年8月试行）一、说明（一）课程性质《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．（二）教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．（三）教学内容集

2、合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．（四）教学时数及学分102学时．学分：5分二、本文一实数集与函数（10学时）[教学要点]集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．[教学内容]1实数实数及其性质；绝对值与不等式．2数集与确界原理集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．-140-3映射与函数映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函

3、数．4具有某些特性的函数函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．二数列极限(16学时)[教学要点]本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型．运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．[教学内容]1数列极限概念数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限．2收敛数列的性质收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．3数列极限存在的条件单调数列、单调有界定理．

4、基本列、Cauchy收敛准则．三函数极限(16学时)[教学要点]函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．[教学内容]1函数极限概念趋于无穷大时函数的极限，趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．2函数极限的性质函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限．3函数极限存在的条件-140-Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy

5、收敛准则．4两个重要极限两个重要极限的推导及其应用．5无穷小量与无穷大量的阶无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．四函数的连续性(14学时)[教学要点]连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．[教学内容]1连续性概念连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数．2连续函数的性质连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定

6、理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor定理．3初等函数的连续性指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．五导数与微分(14学时)[教学要点]导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则，Leibniz公式．[教学内容]1导数概念导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数．2求导法则求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数

7、．-140-3微分微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计．4高阶导数和高阶微分高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念．5参量方程所确定的函数的导数六微分中值定理与不定式极限(20学时)[教学要点]微分中值定理、Taylor公式及其应用，L`Hospital法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．[教学内容]1微分中值定理极值、

8、Ferma