浅谈平面几何中辅助线的添加方法及其教学上的运用

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1、浅谈平面几何中辅助线的添加方法及其教学上的运用平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。辅助线通常画作虚线。关于添加辅助线的问题，这是初中生学习平面几何难点之一，也是平面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响，许多学生在完成几何作业或考试答卷中常常出现辅助线的作法和叙述上的错误。例如：如图，已知⊙O的半径为5㎝，弦AB∥C

2、D，AB=6㎝，CD=8㎝。求：AB和CD的距离。这道题的辅助线如图，可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法：1、作AB和CD的垂线段MN2、过O点作直线MN垂直AB和CD3、过O点作AB和CD的垂直平分线MN4、作OM⊥AB，并延长交CD于N5、连结AB，CD的中点MN，并使之通过O点6、连结MN，使MN⊥AB，MN⊥CD经过分析，几种叙述方法都是错误的。而这种种错误，归纳起来大致有以下2个原因：1、不会使用几何作图的规范用语；2、违反了几何作图的基本要求。那么，如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢？1、教学中注意培养学

3、生的几何语言的表达能力从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语，突出几何语言，特别在学习尺规作图时，更就突出作图规范用语和训练，否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法：（1）连结：如图（1）连结AC、BD交于O点（2）作平行线：如图：（2）过D点作DG∥AE，交BC于G（3）作垂线：如图（3）分别过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F（学生容易丢掉）（4）延长：如图（4）延长AC交⊙O于F，连结DF2、教学中注意加强添加辅助线的练习训练（1）关于添加辅助线的

4、问题。这是初中学生学习平面几何的难点之一，要在教学中循序渐进训练学生。可以通过精选例题，让学生开阔眼界，灵活思路，掌握规律，提高能力。在添辅助线时，必须使学生明确辅助线要添得合理，必须符合基本作图要求。如证明："三角形内角和定理"，要证明这个定理应先以CA为一边，在△ABC外部作∠ACE=∠BAC，再延长BC，然后只要证明∠ECD=∠ABC就行了。根据这样分析，故先作BC延长边CD，并在△ABC外部以CA为一边，CE为另一边作∠ACE=∠BAC，然后即可证∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°。此外还可以让学生掌握多种方法添辅

5、助线。（2）教学时，要注意强调添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。同时，还应注意常见的辅助线的教学，使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循的，从而进一步提高分析问题能力。不断引导学生总结一些带有规律性结论，有助于拓宽思路，丰富联想，而达到融会贯通的目的。3、教学中注意培养学生了解几何问题的思考方法，防止添加辅助线的盲目性很多学生不能够掌握正确的思考方法，常常是不着边际的添加一些不恰当的辅助线，不仅不能有助于解题，反而使

6、图形复杂化，影响了对习题的解答。怎样解决这个问题呢？仔细的分析一下，不难发现，不同的问题需要添加不同的辅助线，相同的问题思考方法不同，辅助线的添加又不同，所以说正确的添加辅助线依赖于问题本身对问题有一个正确的思考方法。因此，学生对一些问题的思考方法就显得很重要了。例如:有这样一个习题，矩形ABCD中，E是DC上的一点，且AE=AB，BF⊥AE于F，求证：EF=EC这个题目的证明本身可以不添加辅助线，直接证明△ABF≌△EAD，从而AF=DE，又因为DC=AB=AE，即可以得出结论。但是不同的学生对同一个问题的思考方法不同，因而

7、出现几种添加辅助线的方法：Ⅰ、验证EF=EC可以它们所在的三角形全等，因而需要将它们构建到两个全等的三角形中去，所以连接B、E。Ⅱ、验证EF=CE可以证它们是一个等腰三角形的两条腰，所以连结F、C。上述几种方法有繁有简，但都能顺利地得出结论，所以采用不同的思考方法，对同一个问题就有了不同的辅助线的添加方法。4、教学中引用歌诀，让学生找到添加辅助线的规律怎样才能正确地添加辅助线呢？我向学生介绍了《平面几何辅助歌诀》：辅助线，如何添，找出规律凭经验。题中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，可向两端把线连。三角形中两中点，连

8、结则成中位线。三角形中有中线，延长中线同样长。成比例，正相似，经常要作平行线。作线原则有一条，证题线段别割断。圆外若有一切线，切点圆心把线连。如果两圆内外切，经过切点作切线。两圆相交于两点，一般作它公共弦。是直径，成半圆，想做直角把线连。作等角，添个圆，证明题目少困难。辅助线