泛函分析中不动点理论及其应用

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1、目录内容摘要……………………………………………………………………1关键词……………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1KeyWords…………………………………………………………………11.引言………………………………………………………………………12.不动点定义及定理介绍……………………………………………………22.1不动点相关定义………………………………………………………22.2不动点思想……………………………………………………………22.3不动点相关定

2、理………………………………………………………63.不动点思想在其他学科的应用……………………………………………83.1在求数列通项公式中的应用………………………………………83.2在求方程解中的应用………………………………………………113.3在求函数解析式中的应用…………………………………………124.不动点定理在证明中的应用……………………………………………144.1应用不动点定理证明数列极限……………………………………144.2应用不动点定理证明隐函数定理…………………………………154.3应用不动点定理证明微分方程解的存在性定

3、理…………………174.4应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理…………………174.5不动点定理在图论中的证明………………………………………14参考文献…………………………………………………………………18致谢………………………………………………………………………19内容摘要:本文简要介绍了不动点思想及相关定理,对Banach不动点定理做了一些简单的推论,应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。关键词:不动点不动点思想不动点定理应用Ab

4、stract:Keywords:1.引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支,以其高度的统一性和广泛的应用性,在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理,例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理,在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际上是算子方程的求解问题,是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础,它是关于具体问题解的存在唯一性的定理,其中Banach不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解的最佳逼近程

5、序,给出了近似解的构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用,在现代数学发展中有着重要的地位和作用。2.不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1设为非空集合,是一个映射,如果使得成立,则称为映射的一个不动点。特别地,函数是定义在上的函数,如果使得成立,则称为函数的一个不动点。定义2设是距离空间,是到其自身的映射,且对于任意的,不等式都成立,其中是满足的常数。则称是上的压缩映射。2.2不动点思想首先,对于函数的不动点,有两个方面的理解:1)的不动点,是方程的根。2)的不动点,是函数与的交点。有了这两个方面的理解,很显

6、然,可以用不动点思想来求方程的根和函数的交点。其次,由于无论迭代多少次,总是本身,所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。2.3不动点相关定理定理1设为完备的距离空间,是上的压缩映射,则在中存在唯一的不动点,即存在唯一的,使得。并且该不动点可以用迭代法求得。有时候映射不能满足定理1的条件,故不能应用它,因此有必要将定理加以拓广,由此得到定理2。定理2设为完备的距离空间,是到其自身的映射,如果存在常数以及自然是使得对于任意的,成立,那么在中存在唯一的不动点。为使用的方便,由上述定理1的证明过程,容易得到下面的定理3。定理3若数

7、列满足条件则一定存在极限。在定理1中取,为中常见距离,则又可以得到下述定理4。定理4若函数是定义在上的函数,若使得,那么函数在中存在唯一不动点。若满足更强的条件,在是可导,则由微分中值定理,可得定理5。定理5若函数是定义在上的可导函数,且满足,其中,则函数在中存在唯一不动点。将此结论应用到数列中,有可得到下述的定理。定理6设函数可导且满足,定义数列,那么一定存在极限。有了上述一系列的定理,我们可以应用它们解决很多问题。3.不动点思想在其他学科的应用3.1在数列通项公式中的应用命题1若函数,为的不动点,满足则是以为公比的等比数列。命题2

8、若函数,数列满足则有:(1)若有两个不动点,则数列是等比数列。(2)若只有一个不动点,则数列是等差数列。证明(1)是的不动点,则分别满足,于是故数列是等比数列。(2)是的唯一不动点,那么满足且。于是故列是等差数列。例1.

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