利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

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1、利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题张晓东（桐乡市高级中学浙江桐乡314500）椭圆是到两定点距离之和等于定值的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）距离之比等于常数的点的轨迹，是到两定点斜率之积为常数的点的轨迹．而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷的解题并看到问题的本质．定义压缩变换：平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的得到平面．显然在压缩变换下，平面上的圆就压缩为平面上的椭圆，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三类问题．一．研究

2、横坐标（或纵坐标）之间的关系．在压缩变换下，平面上点与原来平面上对应点的横坐标相同，即．图1-1例1.（2009清华大学自主招生）如图1-1，已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于。求证：成等比数列。证明：把平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到平面，于是椭圆还原成圆，如图1-2。图1-2因为，所以，即,所以，即，所以于是成等比数列6①设，由圆幂定理，又=,所以，即①成立。评注：把椭圆还原成圆后并可利用圆幂定理。图2-1例2.（2012全国高中数学联赛贵州省预

3、赛）如图2-1，已知是椭圆的左右顶点，是椭圆上不同于顶点的两点，且直线与、与分别交于点。（1）求证：；（2）若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程。解：把椭圆所在平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的得到平面，于是椭圆还原成圆，如图2-2。图2-2（1）,显然，因为是直径，所以，，所以是△的垂心，所以。(2)设与轴交于，并设弧为弧度，弧为弧度，于是，,6又四点共圆，所以，所以，所以△∾△，所以,所以，所以直线的方程为，所以直线的方程为。评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中的角的关系证明相似。二．研究直线的斜率．在压缩

4、变换下，平面上直线的斜率变为原来平面上对应直线斜率的倍，即．图3-1例3．（2011年全国联赛）如图3-1，作斜率为的直线与椭圆交于两点，且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．解：作轴交椭圆于另一点，连结．图3-2把平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到平面，如图3-2．于是椭圆还原成圆。（1）点的坐标为，直线的斜率为，所以，所以，由垂径定理知点平分弧，所以平分，因为轴，所以与斜率互为相反数．所以平面上直线与的斜率也互为相反数，即平分，所以△的内切圆的

5、圆心在定直线上．（2）易得△的面积为图4-1评注：把椭圆还原成圆后可利用垂径定理。6例4．（2013全国高中数学联赛湖北省预赛）如图4-1，设为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两条直线分别与椭圆交于和，若。（1）证明：直线的斜率为定值；（2）过点作的平行线，与椭圆交于两点，证明：点平分线段。证明：把平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到平面，如图4-2．于是椭圆还原成圆。(1)连结，因为，所以，所以,即为等腰梯形所以,又,所以直线垂直平分弦，图4-2因为，所以，所以，所以。（2）直线垂直弦，,

6、所以垂直弦，所以点平分线段，所以点平分线段。评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中平行弦所夹弧相等。图5-1例5．（2012卓越联盟）如图5-1，设椭圆的离心率为。斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点。（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴交于，且，求的值；（3）设是椭圆的下顶点，分别为直线的斜率。证明：对任意，恒有。图5-2解：（1）易得椭圆方程为；（2）把平面上所有点横坐标变为原来的6，纵坐标不变，得到平面，如图5-2．于是椭圆还原成圆。取的中点，因为，所以平分弦，所以，又,设的斜率为，所以，所以，得，所以；（3），

7、设圆与轴的交点为，连结，直线交轴于，直线交轴于,所以,此式显然成立。评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中的直角把斜率进行转化，从而把斜率乘积化为三角形面积之比。三．在压缩变换下，平面上封闭图形的面积是原来平面对应封闭图形面积的倍，即．例6．（2013全国高中数学联赛山东省预赛）已知椭圆内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点，求该平行四边形面积的最大值．解：把平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到平面，如图6．于是椭圆还原成圆，先求平面上相应平行四边形面积的最大值。图6显然面积等于4个三角形的面积，作边

8、上的高，设6（显然当时，取最大值，所以面积最大值为4，相应椭圆平行四边形面积最大值为6。评注：把椭圆还原成圆后并可得到以半径为腰的等腰三角形。例7．（2011全国高中数学联赛河南省预赛）以原点为圆心，分别以为直径作两个圆。点是大圆半径与小圆的交点，过点作垂足为，过点作，垂足为，记当半径绕点旋转时点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）设为曲线上三点，且满足,求△的面积。解：（1）易得曲线的方程为；