清华控制工程基础课件-5课件

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1、控制工程基础（第五章）清华大学2021/6/28控制工程基础第五章控制系统的稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.8李雅普诺夫稳定性方法2021/6/28控制工程基础见光盘课件（第五章第一节）2021/6/28控制工程基础系统稳定的充要条件对于上图所示控制系统，有2021/6/28控制工程基础撤除扰动，即按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间

2、趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。2021/6/28控制工程基础对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数

3、的极点全部在[s]平面的左半面。2021/6/28控制工程基础劳斯稳定性判据这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为式中，为系统的特征根。2021/6/28控制工程基础由根与系数的关系可求得2021/6/28控制工程基础从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件。（1）特征方程的各项系数(i=0，1，2，…，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例，

4、一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即＞0。但这只是一个必要条件,既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。2021/6/28控制工程基础同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。劳斯阵列为2021/6/28控制工程基础其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d,e等各行的系数，2021/6/28控制工程基础2021/6/28控制工程基础这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算

5、，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例:设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。2021/6/28控制工程基础解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。2021/6/28控制工程基础例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的

6、根，控制系统不稳定。2021/6/28控制工程基础对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是2021/6/28控制工程基础三阶系统特征式为，劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是2021/6/28控制工程基础例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传递函数为2021/6/28控制工程基础特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为0

7、程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。各系数排成如下的行列式2021/6/28控制工程基础由于故该系统稳定。2021/6/28控制工程基础米哈伊洛夫（Михайлов）定理米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有P个零点位于复平面的右半面，有q个零点在原点上，其余n-P-g个零点位于左半面，则当以s=jω代入D（s）并令ω从0连续增大到∞时，复数D（jω）的角增量应等于2021/6/28控制工程基础证：（1）设S1为负实根，对于矢量（S-S1）,当S：0→jω变化时图