高等数学复(工专)习材料

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1、第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。1－2　函数的概念函数的定义：y=f(x)(xÎD),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。"（对任意）xÎD,$!(有唯一)y与x对应。y所对应的取值范围称为函数的值域。当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f

2、(x)是三元函数。函数的表示法主要有两种。其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。例如y=f(x)=ex,符号函数　，其中后者是分段函数。其二是图示法。如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。1－3　函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若"x1,x2ÎI,当x1

3、"x1,x2ÎI,当x1

4、于原点对称，则可以验证F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，而G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数；f(x)=0既是奇函数，又是偶函数；两奇函数的和还是奇函数，两偶函数的和还是偶函数。3．有界性：若对属于区间I的任何x，总有

5、f(x)

6、£M（常数），则称f(x)在I上有界，否则称为无界。类似地可定义上有界和下有界。4．周期性：对函数y=f(x),若有一正数a存在，对属于定义域的任意x,x+a,x-a,总有等式f(x)=f(x±a)成立，那么称f(x)为周期函数。若在众多地a中存在一个最小的T，那么T称为周期函数的周期。例如sinx的周期为2p，sin2x的周期为

7、p等。1－4　反函数我们把不同的x对应不同的函数值的函数f(x)称为单函数。设f(x)是单函数，对f(x)的值域中任一点y,有唯一的x，使得y=f(x).由这种对应所确定的函数称为f(x)的反函数，记为x=j(y).注意y=f(x)和x=j(y)实际上同一个函数。但习惯上以x为自变量，y为因变量，则y=f(x)的反函数为y=j(x),记为y=f-1(x).这时在同一平面上，f(x)与f-1(x)的图像关于y=x对称。因此，求一个函数的反函数时，先从y=f(x)中解出x=j(y)，然后将x与y互换即得。1－5　复合函数若函数y=f(u),u=j(x)，则y=f[j(x

8、)]是x的复合函数，称u为中间变量。一个函数有时可由多个函数复合而成。这时务必弄清各层的中间变量，这对以后学习复合函数求导时大有益处。例如由y=eu,u=v2,v=sint,t=s2,s=2x-1复合而成。1－6　基本初等函数与初等函数基本初等函数主要包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数和反三角函数。熟练掌握基本初等函数的形式、定义域、值域、单调性、周期性及图像，可为以后的学习打下良好的基础。初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次的有理运算及复合所产生的函数。1．指数函数：y=ax(a>1,a¹1),定义域为（-¥,+¥）,值域为(0,+¥).当a>1时，函数

9、为单调增；当01,a¹1),它是指数函数的反函数。其定义域为(0,+¥),值域为(-¥,+¥),图像始终经过点（1,0）。当a>1时，函数为单调增；当0