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1、线性代数概念与定理MicRaphael第五章线性空间一、线性空间1、定义与定理（1）线性空间的定义和性质定义1设F是一个数集.如果F满足①1,0ÎF;②F对于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算封闭;则称F为一个数域.定义2设V是一个非空集合,F是一个数域,如果定义了如下两种运算,并且满足后面列举的八条性质,则称V是数域F上的一个线性空间:(1)加法运算:"a,bÎV,有a+bÎV;(V对加法运算封闭)(2)数乘运算:"aÎV,"kÎF,有kaÎV;(V对数乘运算封闭)(3)八条运算性质:"a,b,gÎV,"k,lÎF:
2、①a+b=b+a(交换律)②(a+b)+g=a+(b+g)(结合律)③qÎ$V,"aÎV,a+q=a(q叫零元素,也记为0)④"aÎV,bÎ$V使a+b=0(b称为a的负元素,记为-a)⑤1a=a⑥(kl)a=k(la)⑦k(a+b)=ka+kb(分配律)⑧(k+l)a=ka+la(分配律)线性空间V的简单性质(1)V中零向量唯一,记为0.假若q1,q2都是V的零向量,那么由q1是零向量,有q2+q1=q2.又因q2是零向量,有q1+q2=q1,于是q1=q1+q2=q2+q1=q2.(2)V中每个向量a的负向量唯一,记为-
3、a.如果b,g都是a的负向量,则b=b+q=b+(a+g)=(b+a)+g=q+g=g.(3)0a=q.由a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a,两边同时加-a,有0a=0a+q=0a+(a+(-a))=(0a+a)+(-a)=a+(-a)=q.(4)(-1)a=-a.由a+(-1)a=1a+(-1)a=(1-1)a=0a=0,所以由(2)有(-1)a=-a.(5)kq=q.由(3)和定义1(6)有kq=k(0a)=(k0)a=0a=q.(6)若ka=q，则k=0或a=q.若k¹0,则a=(k-1k)a=k-1(ka)
4、=k-1q=q.（2）线性空间中元素间的线性关系定义3设a1,a2,…,as是数域F上的线性空间V中的s个向量,k1,k2,…,ksÎF,称k1a1+k2a2+…+ksas是a1,a2,…,as的线性组合定理1数域F上的线性空间V中的s个向量a1,a2,…,as(s³2)线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余的向量线性表出.定理2设数域F上的线性空间V中的s个向量a1,a2,…,as线性无关,而a1,a2,…,as,b线性相关,则b可由a1,a2,…,as线性表出,且表示法唯一.定理3如果向量组A可由向量组B线性表示,而
5、且s>t,则A一定线性相关.推论1设有两个向量组:若向量组A线性无关,且可由向量组B线性表示,则s£t.推论2等价的线性无关向量组个数相同.定理4设向量组a1,a2,…,an线性无关，而b1,b2,…,bn可由a1,a2,…,an线性表出，且有，则b1,b2,…,bn线性无关Û
6、A
7、≠0（3）线性空间的维数、基和坐标定义4如果在线性空间V中存在n个线性无关的向量,但任意n+1个向量都线性相关,则称任意n个线性无关的向量为线性空间V的一组基,称n为线性空间V的维数,记作dimV=n.基的概念是坐标系概念的推广.16线性代数概念
8、与定理MicRaphael定义5设e1,e2,¼,en是F的线性空间V的一组基,a是V中任一向量,若记X=(x1,x2,¼,xn)T,则可把向量a写成a=(e1,e2,¼,en)X,称X是向量a在基e1,e2,¼,en下的坐标.定理5设e1,e2,¼,en是V的一组基,h1,h2,¼,hnÎV,记(h1,h2,¼,hn)=(e1,e2,¼,en)C,这里C是n阶方阵(cij)n´n,则h1,h2,¼,hn线性无关ÛC可逆定义6设e1,e2,¼,en和h1,h2,¼,hn是n维线性空间V的两组基,它们可以互相线性表出,假若记C
9、=(cij)n´n,将上式用矩阵形式表示成(h1,h2,¼,hn)=(e1,e2,¼,en)C，称C是由基e1,e2,¼,en到h1,h2,¼,hn的过渡矩阵。基变换公式由基e1,e2,¼,en到h1,h2,¼,hn的变换公式为：定理6设e1,e2,¼,en和h1,h2,¼,hn是n维线性空间V的两个基,由基e1,e2,¼,en到h1,h2,¼,hn的过渡矩阵是C,则C是可逆矩阵.2、题型（1）判断一个集合是否构成线性空间。思路：先验证是否对加法和数乘封闭；再逐条验证8条性质。Tips：10如果是线性空间则需要按以上思路逐一
10、列出验证。20如果不是线性空间，只要找出不封闭或者不满足的性质即可。一般常见的有加法、数乘不封闭、找不到零元素、找不到1元素等。308条性质简记为：加法交换结合零与负，数乘结合分配二和一。（2）证明一组矩阵、多项式线性无关思路：根据线性无关定义列出表达式，再由条件证明k1=k2=……=kn
