线性方程组的直接法

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1、第二章线性方程组的直接法　　在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。　　　　　　　（2.1）　　其中aij，bi为常数。上式可写成矩阵形式Ax=b，即　　　　　　　　　　（2.2）　　其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有    　　为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。克莱姆法则在建

2、立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。31　　解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。但是，这只是理想化的假定，在

3、计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。　　迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。　　在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。一般说来，对同等规模的线性方程

4、组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。对于高阶方程组和稀疏方程组（非零元素较少），一般用迭代法求解。§1 消元法　　一、三角形方程组的解　　形如下面三种形式的线性方程组较容易求解。　　对角形方程组　　　　　 　　　　　　（2.3）　　设，对每一个方程，。　　显然，求解n阶对角方程的运算量为。　　下三角方程组　　　　　　　　（2.4）31　　按照方程组的顺序，从第一个方程至第个方程，逐个解出。　　由方程，得。将的值代入到第二个方程　　得　　　　　　　　　　　

5、将的值代入到第个方程　　得　　　　　　　　计算需要次乘法或除法运算，。因此，求解过程中的运算量为　　上三角方程组　　（2.5）　　与计算下三角方程组的次序相反，从第个方程至第一个方程，逐个解出。　　由第个方程。将的值代入到第个方程31　　得　　　　　　　　将的值代入到第个方程　　得解的通式     　　计算需要次乘法或除法运算。因此求解过程中的运算量为　　消元法的基本思想就是通过对方程组做初等变换，把一般形式的方程组化为等价的具有上述形式的易解方程组。　　二、高斯消元法与列主元消元法　　高斯消元法　　高斯消元法是我们熟悉的古老、

6、简单而有效的解方程组的方法。下面是中学阶段解二元方程组（高斯消元法）的步骤：（2.6）（2.7）　　方程（2.6）乘以－3加到第（2.7）个方程中得31　　代入（2.6）得。　　其方法相当于对方程组的增广矩阵做行的初等变换： 　　已是上三角矩阵，而　　为原方程组的等价方程组，已化成易解的方程组形式。再用回代方法求解，得到：　　这就是高斯消元法解方程组的消元和回代过程。　　一般地，可对线性方程组（2.1）施行以下一系列变换；　　（1）对换某两个方程的次序；　　（2）对其中某个方程的两边同乘一个不为零的数；　　（3）把某一个方程两边

7、同乘一个常数后加到另一个方程的两边。　　记变换后的方程组为：　　　　 　　（2.8）　　显然方程组（2.1）与（2.8）是等价方程组，或者说它们有相同的解。分别记方程组（2.1）与（2.8）的增广矩阵为：31　　可以看出，实际上是由按一系列初等换后得到的　　（1）对换某两行元素；　　（2）中的某行乘一个不为零的数；　　（3）把的某一行乘一个常数后加到另一行。　　高斯消元法就是通过以上（3）的变换，把化为等价的上三角形式。　　下面我们以为例演示消元过程。　　设方程组：　　　　　　　　　　　（2.9）　　其增广矩阵为：31　　（1）

8、若，则将第一行乘以加到第二行上；将第一乘以　　加到第三行上；将第一行乘以加到第四行上得到　　　　　　　　　　　　　　（2.10）　　即  　　其中：　　（2）若则将第二行乘以加到第三行上；将第二行乘以加到第四行上，得到　　　　　　　　　　　　　　（2.11）