2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1学案创新应用第一讲 四 直角三角形的射影定理含解析

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1、四直角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14]射影定理的有

2、关计算[例1]　如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2cm，DB＝6cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨]　在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解]　∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2cm,4cm,4cm.19(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其

3、余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝＝＝2.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝＝＝5.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝＝＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝

4、AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝.∴＝()2＝()2＝.(2)∵AB＝25cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝×25＝9(cm)，BD＝×25＝16(cm)．∴CD＝＝＝12(cm).与射影定理有关的证明问题[例2]　如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．19求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨]　先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明]　∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE

5、，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝＝AD·，BC·AD＝AD·.即CA·CD＝BC·AD.4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在A

6、B、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A作AH⊥BC于H.则DE∥AH∥GF.19∴＝，＝.∴＝.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF，∴EF2＝BE·FC.[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2cm，则DE＝(　　)A．1.24cm　　　　　　　B．1.26cmC．1.28cmD．1.3cm解析：如图，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，DE＝＝＝1.28.答

7、案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为(　　)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为(　　)A．7.2cm2B．6cm2C．12cm2D．24cm219解析：长为3cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．答案：B4．如图所示，在△ABC中，

8、∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)A．6cmB．3cmC．18cmD．3cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝