单个正态总体的假设检验

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1、第二节单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验（1）σ2已知关于μ的假设检验（Z检验法(Z-test)）设总体X~N（μ，σ2），方差σ2已知，检验假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0(μ0为已知常数）由~N（μ，），~N（0，1），我们选取Z=（8.2）作为此假设检验的统计量，显然当假设H0为真（即μ=μ0正确）时，Z~N（0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求zα/2使P{｜Z｜＞zα/2}=α，见图8-1，即P{Z＜-zα/2}+P{Z＞zα/2}=α.从而有P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2.图8-1利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，

2、得双侧α分位点（即临界值）zα/2.另一方面，利用样本观察值x1，x2，…，xn计算统计量Z的观察值z0=.（8.3）如果：（a）｜z0｜＞zα/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H0（接受备择假设H1），所以｜z0｜＞zα/2便是H0的拒绝域.（b）｜z0｜≤zα/2，则在显著性水平α下，接受原假设H0，认为H0正确.这里我们是利用H0为真时服从N（0，1）分布的统计量Z来确定拒绝域的，这种检验法称为Z检验法（或称U检验法）.例8.1中所用的方法就是Z检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.例8.2根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布，方差σ

3、2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg·cm-2）：32.5629.6631.6430.0031.8731.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg·cm-2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？解①提出假设H0：μ=μ0=32.50；H1：μ≠μ0.②选取统计量8Z=，若H0为真，则Z~N（0，1）.③对给定的显著性水平α=0.05，求zα/2使P{｜Z｜＞zα/2}=α，这里zσ/2=z0.025=1.96.④计算统计量Z的观察值：｜z0｜==≈3.05.⑤判断：由于｜z0｜=3.05＞z0.025=1.96，所以在显著性水平

4、α=0.05下否定H0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50kg·cm-2.把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤：（a）提出待检验的假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.（b）构造统计量Z，并计算其观察值z0：Z=，z0=.（c）对给定的显著性水平α，根据P{｜Z｜＞zα/2}=α，P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2查标准正态分布表，得双侧α分位点zα/2.（d）作出判断：根据H0的拒绝域若｜z0｜＞zα/2，则拒绝H0，接受H1；若｜z0｜≤zα/2，则接受H0.（2）方差σ2未知，检验μ（t检验法(t-test)）设总体X~

5、N（μ，σ2），方差σ2未知，检验H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.由于σ2未知，便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S2代替σ2，由于~t（n-1），故选取样本的函数t=（8.4）图8-2作为统计量，当H0为真（μ=μ0）时t~t（n-1），对给定的检验显著性水平α，由P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，见图8-2，直接查t分布表，得t分布分位点tα/2（n-1）.8利用样本观察值，计算统计量t的观察值t0=，因而原假设H0的拒绝域为｜t0｜=＞tα/2（n-1）.（8.5）所以，若｜t0｜＞tα/2（n-1），则拒绝H0，接受H

6、1；若｜t0｜≤tα/2（n-1），则接受原假设H0.上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法.在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题.例8.3用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设测量值X服从N（μ，σ2）分布.解问题是要检验H0：μ=μ0=1277；H1：μ≠μ0.由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量t=.当H0为真时，t~t（n-1），t的观察值为｜t0｜=＞3.对于给

7、定的检验水平α=0.05，由P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，P{t＞t0.025(4)}=0.025，查t分布表得双侧α分位点tα/2（n-1）=t0.025(4)=2.776.因为｜t0｜＞3＞t0.025(4)=2.776，故应拒绝H0，认为该仪器间接测量有系统偏差.（3）双边检验与单边检验上面讨论的假设检验中，H0为μ=μ0，而备择假设H1：μ≠μ