双曲线的简单几何性质

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1、双曲线的简单几何性质高二数学组1.双曲线的标准方程:形式一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0））形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））其中一、复习回顾：oYX关于X,Y轴,原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2

2、x

3、a,

4、y

5、≤bF1F2A1A2B2B12.椭圆的图像与性质:YXF1F2A1A2B1B2焦点在x轴上的双曲线图像2、对称性一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称的.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,

6、-y)二、讲授新课：3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）4、渐近线：xy-aab-boP(a,b)P(a,b)P(a,b)P(a,b)4、渐近线：xy-aab-boP(a,b)P(a,b)P(a,b)P(a,b)直线叫做双曲线的渐近线。注意2)（a>0,b>0）（a>0）a=b即实轴、虚轴长都为2a,这样的双曲线叫等轴双曲线.1)较为精确地画出双曲线：作双曲线的顶点作双曲

7、线的矩形框→作两条渐近线→画双曲线5、离心率xyo（2）离心率范围：（3）离心率对双曲线形状的影响e>1abe是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!焦点在x轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴A1A2虚轴B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1xOF2F

8、1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)如何记忆双曲线的渐进线方程？例1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程化为标准方程:所以:a=4，b=3，即渐近线方程为．实半轴长a=4，虚半轴长b=3；离心率为1.25；焦点坐标为(-5,0),(5,0)练习题：1.求下列双曲线的渐近线方程：例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的

9、方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131220例3点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l:的距离的比等于常数，求M点的轨迹.解：设d是点M到直线l:的距离，根据题意，点M的轨迹是集合由此得将上式两边平方，并化简，得即：这是双曲线.关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐近线..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)小结使A、B两点在x轴上，并且点O与线段A

10、B的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为

11、AB

12、>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为