正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用

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1、正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract:Thispapermainlyintroducesthepositiveseriesconvergenceofseveralmainmethodsofsolvingtheseninemethods,throughcompa

2、ringeachother,usingtypicalpositiveseries,therebyincreasingpositiveseriesmethodsofproof.Keywords:positiveseries;convergence;typical;methods;26compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级

3、数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{Sn}有界，即存在某正数M，对∀n∈N，有Sn2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑un和∑vn是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有un≤vnn=1n26=1∞∞那么(i)若级数∑vn收敛，则级数∑un也收

4、敛；(ii)若级数∑un发散，则级数∑vn也发散；n=1n=1n=1∞n=1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑un和∑vn是两个正项级数。若limn=1n=1un=l，则n→+∞vn(i)当时，∑un与∑vn同时收敛或同时发散；n26=1n=1∞∞(ii)当l=0且级数∑vn收敛时，∑un也收敛；n=1n=1(iii)当l→∞且∑vn发散时，∑un也发散。n=1n=1∞(2)比值判别法∞设∑un为正项级数，∃N0∈N，有n=1∞un+1(i)若对一切n>N0，成立不等式≤quni=1∞un+1(ii)

5、若对一切n>N0，成立不等式≥1，则级数∑un发散。uni=1(3)26根式判别法∞设∑un是正项级数，且存在某正整数N0及正常数Mn=1(i)若对一切n>N0，成立不等式un(ii)若对一切n>N0，成立不等式根式判别法的极限形式：∞n=1设∑un是正项级数，且limun=l，则n→+∞∞∞∞≤Mi=1∞∞un≥1，则级数∑un发散。i=1(i)当l1时，级数∑un发散；(iii)当l=1时，级数的敛散性进一步判断。n=1n=1∞∞(4)柯西积分判别法对于正项级数∑un，设{un26}单调减少的数列，

6、作一个连续的单调减少的正值函数n=1∞f(x)(f(x)>0)，使得当x等于自然数n时，其函数恰为un。那么级数∑un积分，n=1∞An=⎰f(x)d(x)，同时收敛或同时发散。1∞(5)拉贝判别法设∑un是正项级数，且存在自然数N0及常数r，n=1∞⎛un+1⎫(i)若对一切n1，则级数∑un发散；i=1n⎭⎝∞∞⎛un+1⎫(ii)若对一切n>N0，成立不等式n1-u⎪⎪i=1n⎭⎝拉贝判别法的极限形式：⎛un26+1⎫⎪设∑un是正项级数，且极限limn1-⎪=r存在，则n→+∞un=1n⎭⎝∞(

7、i)当r1时，级数∑un发散。n=1∞n=1∞(iii)当r≡1时，拉贝判别法无法判断。(6)阿贝尔判别法如果：(i)级数∑bn收敛；n=1∞(ii)数列{an}单调有界，an如果：≤K(n=1,2,3,⋅⋅⋅)，则级数∑anbn收敛。n=1∞(7)26狄立克莱判别法——变量级数判别法(i)级数∑bn的部分和Bn有界，Bnn=1∞≤M(n=1,2,3,⋅⋅⋅)(ii)数列{an}单调趋近于零，则级数∑anbn收敛。n=1∞注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。(8)对数判别

8、法设a>0，n≥n0，∑un为正项级数，若n=1∞1∞(i)≥1+a，n>0，∑un收敛lnnn=1ln1∞(ii)ln(9)高斯判别法⎛an+1⎫a⎛1⎫⎪设∑un为正项级数，若u1-=1++σ⎪，26⎪an⎭lnn⎝lnn⎭n=1⎝∞则在β>1时，级数∑un收敛;n=1∞∞βn=1三、判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含有二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。