第一讲行列式的定义逆序

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1、§1.1全排列及逆序数1、二阶与三阶行列式由二元线性方程组引入二阶行列式利用消元法解得的分母记作（1）称为线性方程组的系数行列式的分子记作=的分子记作若系数行列式，则二元线性方程组有唯一解同样的，对于三元线性方程组，当系数行列式时有唯一解，系数行列式是分别用常数项替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来的。2、排列：由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称为排列)按照从小到大顺序排序的排列1,2，…，n，称具有自然顺序3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序)，则称这两个数（或者叫数对）构成

2、一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。一个排列的逆序数，一般记为。4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.下面介绍逆序数的计算方法不妨设个元素为1至这个自然数,并规定由小到大标准次序,设为这个自然数的一个排列,考虑元素如果比小的且排在后面的元素有个，就说这个元素的逆序数是，那么全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.（1）42531（2）135…（2n-1）246…(2n)解：（1）在排列42531中,4排在首位,逆序数为3;2的后面比2大小的数

3、有一个,故逆序数为1;5是最大数,逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为，因而是奇排列。（2）同上，同理可得因而当n=4k或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。§1.2n阶行列式的定义通过三阶行列式中的正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所有三阶行列式可写成5、定义：由个数构成行列的阶行列式D=，共有项简记作.数称为行列式的元素.第一个下标是行标，第二个下标是列标。例2、计算4阶行列式。解：根据定义，

4、该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得，例3、计算n阶行列式我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。解：利用定义类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。§1.3对换6、定义：在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）.7、定理1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性.证明略推论：级排列共有项，其中奇偶排列各占一半。8、定理2：阶行列式的可写为9、定理3：阶行列式的可写为例6：试判断和是

5、否都是六阶行列式的项解：是六阶行列式的项而不是六阶行列式的项小结与提问:小结:本讲介绍了二、三阶行列式的计算以及阶行列式的定义、逆序数、对换等概念.提问:行列式展开式的每一项由怎样的元素构成?课外作业:1.(3)(4)2.3.5.(2)(3)