1991年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

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1、1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实数,则的值是()(A)3;(B);(C)2;(D).               2.如图,AB∥EF∥CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是()ABCDEF(A)10;(B)12;(C)16;(D)18.             3.方程x2-│x│-1=0的解是()(A);(B);(C)或;(D).4.已知:(n是自然数).那么的值是()(A); (B);(C);(D).5

2、.若1×2×3×……×99×100=12nM,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则M()(A)能被2整除,但不能被3整除;(B)能被3整除,但不能被2整除;(C)能被4整除,但不能被3整除;(D)不能被3整除,也不能被2整除.6.若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+b+c+d的最大值是()(A)-1;(B)-5;(C)0;(D)1.=17.如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S₁=1,S₂=3和S₃=1

3、,那么,正方形OPQR的边长是()(A);(B);(C)2;(D)3.8.在锐角△ABC中,AC=1,AB=c,∠A=60°,△ABC的外接圆半径R≤1,则()(A)<c<2;(B)0<c≤;(C)c>2;(D)c=2.                                  二、填空题GABCDE1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是.2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数解.甲由于看错了二次项系数

4、,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=.3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x>0,恒成立,则     ABCD135°120°4.四边形ABCD中,∠ABC=135°,∠BCD=120°,AB=,BC=,CD=6,则AD=.第二试一、x+y, x-y, xy, 四个数中的三个有相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x,y).二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(

5、如图).ABCDEF求证:BF=AF+CF 三、将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.答案1.(B)据算术根性质,由右端知y<a<x,又由左端知a≥0且a≤0,故a=0.由此得x=-y,代入所求式算得值为2.(C)由平行截割定理,有①②①+②,得∴3.(D)设x₀是方程的解,则—x₀也是方程的解,排除(A)、(B);(D)的两值必是方程的解,否则方程的解也不

6、是(C).将代入方程,左边≠0,排除(C).4.(D)5.(A)在1×2×3×…×100的质因数分解中,2的因子有所以,,其中2不整除P,3不整除P,因而M=2P.6.(B)(a+b)+(c+d)=c+a, ∴b=-d.代入b+c=d得c=2d,a=c+d=3d,故a+b+c+d=2d+3d=5d=-5b≤-5(∵b≥1).故a=-3,b=1,c=-2,d=-1.7.(C) 设正方形OPRQ的边长为x,即OP=PQ=QR=OR=x.作△ABC的高AD,交OR于F,在△AOR中,.如图.8.(A)作CD⊥A

7、B,因△ABC是锐角三角形,故D在AB内,从而c=AB>AD=ACcosA=cosA=.又由正弦定理,得c=AB=2RsinC<2R≤2,所以<c<2.二、填空题1.12由△BEG∽△DAG,得DG∶GB=AD∶BE=2∶1,  ∴  DB=3GB.连接DE,则.  2.6设甲将a看为a′,由韦达定理得   由于一次项系数b的符号不改变判别式的值,因此,乙只能是看错a或c的符号.于是a’    由①②得3.9若n>q,则上式左边为奇数,右边为偶数,矛盾.若n<q,则上式左边为整数,右边为真分数,矛盾.所以

8、,只能是n=q=1.于是.4.作AE∥BC,交CD于E,自B,C分别作AE的垂直线BF与CG,F,G分别为垂足(如图).BCGF为矩形,△AFB为等腰直角三角形,.·在Rt△CEG中,三、解答题一.由于有意义,所以y≠0,从而x+y≠x-y.因此xy=,即x(y2-1)=0.所以x=0或y=±1.(1)若x=0,则由xy=x+y,或xy=x-y,得y=0,这样无意义;(2)若y=1,则由xy=x+y得x=x+1,或由xy=x-

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