数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

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1、数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义:在平面上,从点作半径为的圆的割线,从起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值,称为点对于此圆周的圆幂.圆幂定理:(1)当在圆外时,点对于此圆的幂等于;(2)当在圆内时,点对于此圆的幂等于;(3)当在圆上时,规定:点对于此圆的幂等于.二、根轴及其性质1.根轴的定义:对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线,该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质:(1)若两圆与相离(半径分别为,且),点为的中点,点在线段上,且,则此两圆的根轴是过点且垂直于的直线.特别地,当两圆相离且半径相等时,它们的根轴是线段的中垂线.(2)若两个圆是同心圆,则这两个

2、圆不存在根轴.(3)若两个圆相交,则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.(4)若两圆相切,则过两圆切点的公切线是它们的根轴.(5)若三个圆的圆心互不相同,则任意两个圆的根轴共三条直线,它们相交于一点或互相平行.(6)若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点共线(都在根轴上).思考:能否从解析几何的角度看根轴?4三、例题例1如图,设和分别是的内心和外心,和分别是的内切圆和外接圆的半径,过作的外接圆的弦.求证:(1);(2);(3).(欧拉公式)例2如图,设圆与圆相离,引它们的一条外公切线切圆于,切圆于,又引它们的一条内公切线切圆于,切圆于,求证:(1);(2)直线是分别以,为直径的圆,的

3、根轴;(3)直线和的交点在两圆的连心线上.4例3(1997年全国联赛)已知两个半径不相等的与相交于,两点,且,分别与内切于,两点,,,三点共线,求证:.四、练习题1.点,为的边,上的点,分别以,为直径的圆与交于点,.求证:的垂心在直线上.42.(第36届IMO)设、、、是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以,为直径的圆,交于点,,直线交于点.若为直线上异于的一点,直线与交圆于点及,直线与交圆于点及.求证:(1),,,四点共圆;(2),,,四点共圆;(3),,共点.3.(第40届IMO国家队选拔题)凸四边形的四边满足,圆分别与凸四边形的,两边相切于,两点,与对角线相交于,两点.求证

4、:存在另一个过,两点,且分别与,的延长线相切的圆.4

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