2018版高数学（人教a版）必修1同步教师用书：第2章2.3幂函数

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1、2.3　幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．(难点)3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1　幂函数的概念阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x－是幂函数．(　　)(2)函数y＝2－x是幂函数．(　　)(3)函数y＝－x是

2、幂函数．(　　)【解析】　(1)√.函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；(3)×.幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×教材整理2　幂函数的图象与性质阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0

3、)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈(0，＋∞)增x∈(－∞，0]减增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减公共点(1,1)幂函数的图象过点(3,)，则它的单调递增区间是(　　)A．[－1，＋∞)　　　　　　　B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)【解析】　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3,)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】　B[小组合作型]幂函数的概念　(1)在函数y＝x－2，y＝

4、2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,)，则f(9)＝________.(3)幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，则m＝________.【精彩点拨】　(1)结合幂函数y＝xα的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值．(3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可．【自主解答】　(1)根据幂函数定义可

5、知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，)，得＝2α，α＝，∴y＝f(x)＝x，∴f(9)＝3.(3)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，∴∴m＝－1.【答案】　(1)B　(2)3　(3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.【导

6、学号：97030116】【解析】　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.【答案】　幂函数的图象与性质　(1)如图231所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)图231A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－<(5－2a)－的

7、a的取值范围．【精彩点拨】　(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．【自主解答】　(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，

8、n

9、越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.【答案】　B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数

10、的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－<(5－2a)－.因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a