2017年高数学人教a版选修4-1学案：第一讲二平行线分线段成比例定理word版含解析

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1、二　平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题．1．平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段______符号语言a∥b∥c，直线m分别与a，b，c相交于点A，B，C，直线n分别与a，b，c相交于点D，E，F，则＝____图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例(1)定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同，它需要a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截．平行线的

2、条数还可以更多．(2)定理的结论还有＝，＝等．可以归纳为＝，＝等，便于记忆．(3)当截得的对应线段成比例，且比值为1时，则截得的线段相等，因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径．【做一做1】如图所示，a∥b∥c，AB＝2，BC＝3，则等于(　　)A．B．C．D．2．推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段______符号语言直线DE分别与△ABC的两边AB，A

3、C所在直线交于D，E，且DE∥BC，则＝____图形语言作用证明三角形中的线段成比例【做一做2－1】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝1，则等于(　　)A．1B．3C．D．【做一做2－2】如图，AB∥CD，AC，BD相交于O点，BO＝7，DO＝3，AC＝25，则AO的长为(　　)A．10B．12.5C．15D．17.5答案：1．成比例　【做一做1】B　∵a∥b∥c，∴＝＝.2．成比例　【做一做2－1】D　∵DE∥BC，∴＝＝＝＝.【做一做2－2】D　∵AB∥CD，∴＝＝，∴＝，∴AO＝AC＝×25＝＝17.5.比例的概念及有关

4、性质剖析：(1)线段的比：用同一个长度单位去量两条线段，所得的长度比叫做这两条线段的比．(2)比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．(3)比例的有关概念：已知四条线段a，b，c，d，如果＝或a∶b＝c∶d，那么线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d叫做线段a，b，c的第四比例项．若＝或b2＝ac，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．(4)比例的性质：①基本性质：a∶b＝c∶d⇔ad＝bc.②合比性质：如果＝，那么＝.③等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0

5、)，那么＝.(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念．线段的比是对两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的．线段的比有顺序性，a∶b与b∶a通常是不相等的；比例线段也有顺序性，如线段a，b，c，d成比例，与线段a，c，b，d成比例不同．题型一证明线段成比例【例题1】如图，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：＝.分析：在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补出一个平行四边形来求解．反思：(1)比例线

6、段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．(2)利用平行线来转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.题型二证明线段相等【例题2】如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，＝，连接BE并延长，交AC于点F，求证：AF＝CF.分析：切入点是条件＝的应用，通过作平行线，证明＝，其中x是某条线段．题型三证明线段倒数和的等式【例题3】如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于

7、F，求证：＋＝.分析：转化为证明＋＝1.由于AB∥EF∥CD，将与化归为同一直线BD上的线段比就可证得．反思：证明有关线段倒数和的等式时，常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式，然后化归为同一直线上的线段比．题型四计算线段长度的比值【例题4】如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB的延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．分析：⇒⇒反思：运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截的边，并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等．答案：【例题1】证明：

8、如图，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使