【数学】江苏省南通市高级中学2015届高三一模

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1、南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，，，则__________．2．若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为__________．3．已知函数在处的导数为，则实数的值是__________．4已知函数（）的图象在处的切线斜率为（），且当时，其图象经过，则__________．5．要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移__________个单位．6．在平面直角坐标系xO

2、y中，“直线，与曲线相切”的充要条件是“__________”．7．如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是__________．8．在△ABC中，若，则__________．149．已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为__________．10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为__________．11．已知平面向量，，满足，，，的夹

3、角等于，且，则的取值范围是__________．12．在平面直角坐标系xOy中，过点、分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定，…，若，，则__________．13．定义：{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是__________．14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．

4、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数．（1）求的最小正周期和值域；（2）若为的一个零点，求的值．1416．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为，且（）．（1）若，求二面角C—BD—的大小；（2）当变化时，线段上是否总存在一点E，使得A//平面BED？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，设A、B是双曲线上的两点，是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双

5、曲线相交于C、D两点．（1）求直线AB与CD的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作314天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1

6、）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：，，，）19．（本题满分16分）已知函数的导函数是二次函数，且的两根为．若的极大值与极小值之和为0，．（1）求函数的解析式；（2）若函数在开区间上存在最大值与最小值，求实数的取值范围．（3）设函数

7、，正实数a，b，c满足，证明：．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数.（1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；14（3）证明：“数列，，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“，且”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点

8、D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（矩阵与变换）已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值．C．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知点在曲线（为参数，为正常数），求的值．D．（不等式选讲）设均为正数，且，求证：【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文14字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数，，求的最大值.23．（1）已知，且，求证：；（2）设数列，，，…满足，（i1，