2017年高数学人教a版选修4-1学案：互动课堂第一讲四直角三角形的射影定理word版含解析

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1、互动课堂重难突破　　一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-1，AB在AC上的射影是线段AC；BC在AC上的射影是点C；AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD，这样，Rt△ABC中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).图1-4-1二、直角三角形的射影定理由于角的关系，图1-4-1中，三个直角三角

2、形具有相似关系，于是Rt△ABC的六条线段之间存在着比例关系.△ACD∽△CBD,有=，转化为等积式即CD2=AD·BD；△ACD∽△ABC,有=，转化为等积式即AC2=AB·AD；△BCD∽△BAC,有=，转化为等积式即BC2=BA·BD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=

3、AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6,AC2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC＝213.我们还可以求出BC、AB，以及△ABC的面积等.图1-4-2三、刨根问底问题1　在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，那么AC2+BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？探究:如图1-4-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高.应用射影定理，可以得到AC2＋BC2＝AD·A

4、B+BD·AB=(AD+BD)·AB=AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题2　几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形,这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门吗？能举例说明吗

5、？探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路,这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图1-4-3(c)中，求证:CF·CA=CG·CB.(2)在图1-4-3(a)中，求证:FG·BC=CE·BG.(3)在图1-4-3(d)中，求证:①CD3=AF·BG·AB；②BC2∶AC2=CF∶FA;③BC3∶AC3=BG∶AE.就可以这样来思考:在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD2=CF·CA和CD2=CG·CB即可得到证明.第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FG·B

6、C=CE·BG，只需证=，而这四条线段分别属于△BFG和△BEC，能发现这两个三角形存在公共角∠EBC，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.图1-4-3或者在图1-4-3(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“Rt△BDE中DG⊥BE”及“Rt△BDC中DF⊥BC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD2进行代换，得到BG·BE=BF·BC，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角∠EBC的△BFG和△BEC相似.你可以来尝试分析第(3)小题.活学巧用【例1】直角三角形两直角边在斜边上的射

7、影长分别为5和3,则两条直角边的长分别为(　　)A.3和5B.9和25C.40和24D.和思路解析:直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为5和3,直接应用“射影定理”可求出两直角边的长分别为和.答案:D【例2】如图1-4-4(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足.求证:AF·AC=BG·BE.思路解析:将图1-4-4(a)分解出两个基本图形1-4-4(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-4(b)和(c)中的射影定理:AF·AC=AD2，BG·BE=DB2

8、，通过代换线段的平方(AD2=DB2)就可以证明所要的结论.图1-4-4证明:∵CD垂直平分