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1、排列组合问题的解题技巧 陕西武功梁小宁 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧: 1、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。 A、720 B、360 C、240 D、120 解：因甲、乙两人要排在一起，故
2、将甲乙两人捆在一起视作一人有 种排法，与其余四人进行全排列有 种排法，由乘法原理可知，共有 =240种不同排法，故选（C）。 点评：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。 训练：3名男教师，3名女教
3、师，6名学生站成一排，要求男教师和女教师必须站在一起，且教师不站在两端，则一共有多少种站法？ 2、相隔问题插空法 例2 排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？ 解:(1)先排歌唱节目有 种，歌唱节目及两端有6个空位，从这6个空位中选4个放入舞蹈节目，共有 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 种。 (3)先排舞蹈节目有 种排法，在舞蹈节目和两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所
4、以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有 种。 训练：若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”，求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？ 点评：从解题过程可以看出，“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时，可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置，从而保证它们不相邻。 3、限定问题优限法 例3 由数字0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的四位偶数？ 解：因所求是偶数，所以个位必须是0，2，4中的任何一个，又首位不能
5、为0，所以分个位为0时有 种，个位不为0时有 种。所以共有 种。 点评：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑，本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求，首位数字又不能为0，故优先考虑。 训练本例条件不变，问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？”，应如何求解？ 4、多元问题分类法 例4三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个? 解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设 ,要构成三角形,必有 则分类讨论如下： 当y为11时，x可以为：
6、1,2,3,…,11,可有11个三角形； 当y为10时，x可以为：2,3,4,…,10,可有9个三角形； 当y为9时，x可以为：3,4,5,…,9,可有7个三角形； 当y为8时，x可以为：4,5,6,7,8,可有5个三角形； 当y为7时，x可以为：5,6,7,可有3个三角形； 当y为6时，x可以为：6,只有1个三角形； 所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。 点评：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。 训练某城市在中心广场建造一个花圃,花圃
7、分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种? 5、标号排位问题分步法 例5同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（） A.6种B.9种C.11种D.23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有 种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有
8、 种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 点评：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 训练:将标有1,2,…10的1
