第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

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1、第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答hPQBu0一、参考解答：如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时的值便是满足题中条件的最小值．设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为，有（1）若碰撞正好发生在Q处，则有（2）从（1）、（2）两式解得的值便是满足题中条件的最大值，即（3）代入有关数据得（4）如果，小球与平板的碰撞处将不在Q点．设小球第一次刚要与

2、平板碰撞时在竖直方向的速度为，则有（5）以、分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有（6）因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得28（7）解（6）、（7）两式，得（8）（9）碰撞后，平板从其平衡位置以为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为，则平板在t时刻离开平衡位置的位移（10）式中（11）A和是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时

3、刻平板振动的速度（12）因时，．，由（9）、（11）、（12）式可求得（13）（14）把（13）、（14）式代入（10）式，得（15）碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为（16）平板的x座标为28（17）在碰撞时，有（18）由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得（19）这便是满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）（20）如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有（21）由（1）、（20）和（21）式得（22）而满足题中

4、要求的的最小值应大于（22）式给出的值．综合以上讨论，的取值范围是（23）附：（19）式的数值求解用数值解法则要代入不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：0.7300.7500.7600.7650.7700.7710.7720.7750.7800.7900.810283.313.123.022.962.912.912.902.862.812.702.482.612.762.832.872.912.912.912.942.983.063.210.700.360.190.0900-0.01-0.08-0.17-0.36-0.73二、参考解答：解法

5、一因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为（1）B点的向心加速度的大小为（2）因为是匀角速转动，B点的切向加速度为0，故也是B点的加速度，其方向沿BA方向．因为C点绕D轴作圆周运动，其速度的大小用表示，方向垂直于杆CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC方向．因BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，故有（3）此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度ACDBaCnaCtaC（4）由图可知，由（3）、（4）式得（5）其方向沿CD方向．下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度．因为BC是刚性杆，所以C点相

6、对B点的运动只能是绕B28的转动，C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC．令表示其速度的大小，根据速度合成公式有由几何关系得（6）由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度（7）因为，故有（8）其方向垂直杆CD.由（2）式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为（9）所以C点相对A点（或D点）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量（10）C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度与切向加速度的合加速度，即（11）的方向与杆CD间的夹角28（12）ABCDxy解法二：通过微商求C点加速度以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay

7、与AD垂直．任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用，和表示，且已知，，，，，C点坐标表示为（1）（2）将（1）、（2）式对时间t求一阶微商，得（3）（4）把（3）、（4）式对时间t求一阶微商，得（5）28（6）根据几何关系，有即（7）（8）将（7）、（8）式平方后相加且化简，得（9）对（9）式对时间t求一阶微商，代入，，，得（10）对（9）式对时间t求二阶微商，并代入上述数据，得（11）将（10）、（11）式以及，，的数值代入（5）、（6）式，得所以（12）由图知，与x轴的夹角为（13）28所以求得这个夹角在第三象限，为，故与

8、CD的夹角（14）三、参考解答：1．设a室中原有气体为，打开K1后，有一部分空气进入a室，直到K1关闭时，a室中气体增加到，设a室中增加的气体在进入容器前的体积为，气体进入a室的