一元二次方程整数根问题的题与解法

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1、一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学（364412）李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。一、观察已知的方程的两根能否先求出。若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。例1已知方程（a2–1）x2–2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根根，则整数a=解析：在

2、a2–1≠0条件下，可求得方程的两个根x1=，x2=；由x1是负整数可得a的可能值为：-2，-3，-5；由x2是负整数可得a的可能值为：-1，-2，-5；取相同的a值-2、-5，即为所求。评注：原方程的两根可以先求出（用a表示），利用整除的性质，确定出所有的a的可能值。4二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。例2已知方程x2+kx–k+1=0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k=解析：依题意可知∆=k2+4k-4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2+4k–4=t2,(k+t+2)(k+2-t)=

3、8(k+t+2)与(k+2-t)同奇偶且8是偶数，所以有：解得k=1或–5经检验：k=1或–5满足题目的要求。评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。例3求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x+r–1=0的所有根为整数。解析：当r=0时，方程有一个整数根1；当r≠0时，设方程的两根为x1、x2（x1≥x24）。由根与系数关系可得x1+x2==–1–┄┄①x1x2==1-┄┄②由①②消去得（x1−1）（x

4、2−1）=3。由于x1、x2是整数及x1≥x2可得：或解得或把上述两组解代入①中，可求得r=–或1。经检验：r=–或1满足题意。所求的r=–、1、0。评注：本题中的r是有理数，其取值不好确定，所以通过转化为讨论整数积的问题。当然要注意分r=0和r≠0两种情况讨论。四、变换主元，把原方程看成是要求值（或范围）的字母的方程，利用已知方程根的情况，求值（或范围）。例4求使关于x的方程a2x2+ax+1–7a2=0的两根都是整数的所有正数a的和。解析：把方程化为（x2–7）a2+ax+1=0(关于a的方程)因x是整数，所以x2–7≠0，关于a的方程有解，于是∆=x

5、2–4(x2–7)≥0;解得–≤x≤。由于x是整数，所以x的可能取值为–2、–1、0、1、2。把x的可能值代入转化后的方程中，求出a的一切值：、、、1，其和为。4评注：题中给出的条件：根是整数、a是正数。不容易直接求出a的值。注意到字母a的次数是二次，所以采取反客为主，转化为关于a的二次方程，再利用方程有根这一条件求出正数a的值。一元二次方程整数根的问题解答有助于培养学生思维的灵活性、广阔性、敏捷性。在解答时，要仔细观察所给方程的特征，综合运用所学知识，选择简便做法，就能运筹帷幄，决胜千里。4