形变与应力胡克定律

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1、形变与应力胡克定律若物体所受外力撤销后，在外力作用下所发生的形变和体积的变化能够消失，则这种形变叫弹性形变，这种物体叫弹性体。“弹性体”是一种理想模型。弹性体最基本的形变是拉伸压缩形变和剪切形变，扭转形变和弯曲形变可以看做拉伸压缩形变和剪切形变组成的。（1）弹性体的拉伸压缩形变在弹性体被拉伸或压缩时，作用在弹性体某一横截面积的内力在垂直该面积方向上的分量Fn与横截面积S的比值，称为该横截面积上的正应力。即国际单位制中，正应力的单位为N/m2，称为“帕斯卡”，国际符号为“Pa”。弹性体在外力作用下发生拉伸或压缩形变时，沿外力方向的形变量Δl（绝对形变）与原长l的比值，称为

2、线应变。即（2）胡克定律1678年，胡克（R.Hooke1635—1703）从实验中总结出，对于有拉伸或压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比，即：σ=Yε称为胡克定律。比例系数Y称为杨氏模量，是描写材料本身弹性的物理量，反映了材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。（3）剪切形变当弹性体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动时，这种形变叫做剪切形变。力偶对应的力在平行截面方向的分量大小F与该截面积S的比值，称为剪应力，即τ=F／S。图3－21如图3-21所示，两个平行截面相对滑移距离bb′与两截面之间的距离ab的比值，称为剪切应变，即tanψ=bb′／a

3、b在形变很小时，tanψ=ψ，则ψ=bb′／ab。（4）剪切形变的胡克定律实验结果表明，剪切应变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比，即τ=Nψ这就是剪切形变的胡克定律。式中N称为剪切模量。反映了材料对于剪切变形的抵抗能力。（5）圆柱体的扭转圆柱体两端受到一对大小相等、方向相反的力偶矩时，将发生扭转形变。在微小扭转形变下，圆柱体的各横截面间距不变，即圆柱体不伸长或缩短；各横截面上的半径仍保持为直线，但发生相对转动。圆柱体两端面相对转过的角度叫圆柱体的扭转角，用φ表示。如图3-22所示。从图中可以看出，柱面上每一根母线随着圆柱体的扭转都倾斜一个角度，使得柱面上每一个“正

4、方形”面元都变成了“菱形”。所以扭转形变本质上是剪切形变，母线转过的角度ψ就是相应的剪切应变。图3－22在微小形变的条件下，剪切应变ψ＝rφ/l。r表示体元所在半径，l表示柱长。可见，在同一同心圆薄层内剪切应变相同，不同层内剪切应变不同，中心轴线处的狭长体元无剪切应变，圆柱表面上体元的剪切应变最大。扭剪切应变ψ和体元所在半径r一定时，杆越长，即l越大，则扭转角φ越大。因内外层剪切应变不同，根据剪切形变的胡克定律，内外层剪切应力也不同，靠外层剪切应力较大。剪切应力的出现起着抵抗扭转形变的作用，因此抵抗形变的任务主要是由外层材料来承担，靠近中心轴线的材料几乎不起什么作用。经

5、过计算可证明，产生扭转的力偶矩M和实心圆柱扭转角φ有如下关系：R和l分别表示圆柱的半径与长度，N为剪切模量，式中称为圆柱体的扭转系数。当M一定时，R越大，l越小，则φ越小，即短而粗的圆柱体具有较强的抵抗扭转形变的能力。反之，细而长的圆柱体抵抗扭转变形的能力较弱。卡文迪许测引力恒量扭秤实验中，由于大小铅球产生的万有引力，使石英丝受到力偶矩的作用而发生扭转形变，只需知道石英丝的扭转系数就能够从扭转角求出力偶矩，从而测出万有引力。石英丝细而长，扭转系数很小，即使引力矩很小，也会发生明显的扭转以便于观测。而且，石英的弹性后效现象几乎观察不到，热胀冷缩现象也不明显，因此，用石英丝

6、做的扭秤很精密。弹簧受到外力时，长度会发生变化，就每一小段来看，都是扭转形变。弹簧的伸长越长，每一小段的扭转形变越大，即扭转角φ越大，在一定的限度内，扭转角φ与伸长量Δl成正比，所以弹簧由于扭转而产生的反力偶矩M也与伸长量Δl成正比，弹簧产生的弹力也与伸长量Δl成正比。（摘自高等教育出版社漆安慎、杜婵英编著《力学》第331页至第347页）