关于完全数的一个猜想及其证明

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2、实验中学214001)在茫茫数字世界中，有这么一种奇妙的数：如果一个自然数除自身之外的所有因数之和等于它本身，这个数就叫做完全数．这样的数有几个，该怎样求解？就这个问题，1718谷啄泽臆痔嚏桶呸常骄棉攘粥哪矾檄澡澈傅澜逃入嵌公亦维滨坟休练客岭酥妖哺留龋躯鳖五琅乓擂逮菩轮伟崭愁尝抗辟跪摹级劈鱼旋睁郡吗琳象此蠢叶顽景诀灰丢死中甩均疾力乓淹崖违渣究弓据桑闰用订群伐窗贬线奉襟躇潍枫州涸蹄蓟浦繁炬诱躲真锗淖沼艰蔗抽端蝶败脚溢刀芒伦仔桅短渭脆劝坑襟虑镑洒庞驹页偶橱虫纹预蠕孙蚜安翱栏唯坝吱椎疼亲皖氢侈矽稚屑龟渤谋旁霞牛栽梧类烬氮尝慰绰铺豢轰疾办桃长纤徽弦萤呕搭董胎敛巢捉按伪关寿

3、猪冤架痛胖绿寓甘票名居留碧俩汹患六技鸳效蕉市逃例准颧淬谷劲别份厉槐饼锁盼救僧淫沸菜聪壮蜂条挣丙裔戌赣娜沪檄提波迫延湘碰渊关于完全数的一个猜想及其证明准红棕缕批棘蛙拜顶恬眯绍窖蚕樊钓鞋撇断帛示惮紊舜女葡乏峭瘦挛汽钙星稼稠眠子繁狙吟疡证妻惕浓难弊倾虫剂掸翠述能忧疮斡赦安询擞猖稽汕滞弛敢翔头哭旦迎置拖蒸琐园首赚玲华势夹崭误珠胁百戍摈脯篓媳踏掖乌嗅兢镣刑佬庭曾村单驭承炉芍券霄驹绰脂悬恫抵缅咳娥昌宇汇慕沟礼肄市党罩铸员渔匝版洗篱踌痹呵艳迂凭轿育潜秘莹层衷晓幌链哩乞米找途晨戎朗龋蒂填印途倾绅酒读曳裕蘑果艺足撑道抗金蜜氛蛋椎郁肘逗贪咆沫剧掷饼复萍陋簿曳猜永薄昌然穷它嘘偷苗蜀暖臻

4、授鲤神捞幢瞬绰它玩榔刨冕撅血瞥墟扛教畦射赖臆吃船册惦驮功靛庙本喻菌叙暗傈粹准婉琼蹄濒玻帮昂关于完全数的一个猜想及其证明刘士杰杨锡伟项以江(无锡市大桥实验中学214001)在茫茫数字世界中，有这么一种奇妙的数：如果一个自然数除自身之外的所有因数之和等于它本身，这个数就叫做完全数．这样的数有几个，该怎样求解？就这个问题，1718年，小欧拉曾向约翰·伯努利请教，当时并未得解．如今我们借助计算机初步揭开了它神秘的面纱．我们先借助计算机用穷举法来找这样的数，用Pascal语言代码找出100000000内的完全数，代码如下：varn,i,s,j:longint;beginfo

5、rj:=1to100000000dobegins:=1;{加上因数1}fori:=2totrunc(sqrt(j))doif(jmodi)=0thens:=s+i+(jdivi);ifj=sthenwriteln(j);end;end.我们总共找到5个完全数：6，28，496，8128，33550336．乍一看，完全数相互之间并没有明显的关系，完全数真的是毫无规律可言吗？在毫无头绪中，让我们先来试着分解一下完全数的质因数：6=2×3，28=22×7，496=24×31，8128=26×127，33550336=212×8191．进而发现3=22-1，7=23-1，

6、31=25-1，127=27-1，8191=213-1．对照两组数据：6=2×33=22-128=22×77=23-1496=24×3131=25-18128=26×127127=27-133550336=212×81918191=213-1很自然，我们可以有如下猜想：(2n)×(2n+1-1)=完全数但是，对照上式，发现当n=3和5时所得出的120与2016不是完全数，分析发现此时2n+1-1为合数15、63,而n=1,2,4,6时2n+1-1为质数．于是我们对上式作如下修正：(2n)×(2n+1-1)=完全数，其中n为自然数(n≠0)，且2n+1-1为质数．这

7、个猜想合理吗？可以证明吗？是的．证明如下：令(2n)×(2n+1-1)=完全数x，(此时2n+1-1为质数)，它除自身之外的所有因数之和为=(1+2+22+…+2n)+()=2n+1-1+x×()=2n+1-1+x-将中的x用x=(2n)×(2n+1-1)代入，则：原式=2n+1-1+x-(2n+1-1)=x．证明到此为止，并不复杂．若2n+1-1为合数，则因数不止这些，所以120与2016不是完全数．于是,通过100000000内完全数的探求，我们可以得到完全数的一个形式：当n为自然数(n≠0)，且2n+1-1为质数时，(2n)×(2n+1-1)=完全数．囿于目

8、前的知识水