降落伞的选择——数模优秀获奖论文

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1、降落伞的选择戈亮峰，李昌富，胡尚（湖南城市学院）摘要：本论文通过列出降落伞空投时的运动方程，分析其下降过程中的速度变化规律，然后运用线性最小二乘法，利用概率论的正态分布函数求出空气的阻力系数k为2.944。然后根据降落伞在任意时刻的速度v是关于载重质量m的严格单调递增函数，以及降落伞在接近地面处达到20m/s的最大允许速度，计算出各种不同半径大小的降落伞所对应的最大承载质量以及其空投单价。无条件限制时，求解此题可以归结为一个线性规划问题。再运用Mathematica4解出：=0；=0；=6；=0；=0。即需要购买半径为3m的降落伞6个，其总费用

2、约为4832元，当有条件限制时，则求解此题可以归结为一个整数类型的线性规划问题。运用Mathematica4解出：=0；=1；=0；=0；=3。即需要购买半径为2.5m的降落伞1个，半径为4m的降落伞3个，总费用为5282元，从而使得空投费用最低。1问题重述（略）2问题的分析根据题意，每种降落伞的价格是可以计算出来的。要确定降落伞的购买方案，即选购降落伞共需多少个，每个降落伞的半径又应为多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。首先，根据表1中所给的半径r求出它的最大载重质量M(r)，要计算M(r)可运用动力学公式和微分方程解出

3、阻力系数k，再求出M(r)。然后，从降落伞选购方案中运用线性规划选出最优组合模型，得出问题要求的结果。3合理假设1、忽略气温、压强对空气密度的影响及风向、高空气流对空投物降落（运动）过程的影响，即降落伞在下降的过程中只受重力和空气阻力的共同的作用。2、假设空气密度均匀，即不随高度的变化而改变。3、降落伞落地时的速度不超过20m/s。4、降落伞和绳索的质量问题可以绝对保证以及重量可以忽略。65、假设在降落伞的整个下降过程中不会出现降落伞不能打开和绳索扭曲打结的现象。6、救灾物资2000kg可以按照100kg或200kg任意分配组合。7、空气的阻力

4、系数k是定值，与外界因素无关。8、M(r)表示半径为r的降落伞在满足空投的条件下最大的载重质量。4变量声明（1）k：空气阻力系数。（2）t：降落伞下降时间。（3）m：降落伞的载重质量。（4）g：重力加速度（）。（5）S：降落伞的表面积。（6）H(t)：降落伞从降落位置到任意时刻t下降的位移。（7）Z：最低空投费用。（8）：某种类型降落伞的个数。（9）L：每根绳子的长度（单位：m）。5模型的建立与求解（一）、求解空气系数k根据题意：降落伞在下降过程中受到重力和空气阻力的共同作用并且初速度V（0）=0由简单的动力学公式及微分方程，得设降落伞从开始下

5、降位置到t时刻所下降的位移H(t)，即有积分解得：6我们进一步得到：Δt(s)3333333333ΔH(m)30455355534955525354表3由物理学知识：可知，如果在相同的时间间隔内位移相等，则物体作匀速直线运动，也就是说对于此题根据图（4）的速度与时间的函数关系可知，降落伞在t=9s的以后H(t)与t近似呈线性变化，因此我们可以求出在9s后的平均速度v。求得v=17.667m/s。又因为在此阶段加速度a≈0，我们利用，易得出k=2.944。根据公式将r=3m，m=300kg，，，k=2.944代入上式得我们运用Mathematic

6、a4做出上式的图形如下：图（4）由表3的数据显示在t=9s以后，在相等的时间间隔内ΔH趋于定值53，即空投物近似作匀速直线运动。设,其中服从正态分布。6X=[912151821242730]H=[128183236285340392445499]调用Matlab命令；p=[17.5794-29.2976];所以，V=17.6667(m/s)，空气阻力系数k=2.944。（二）、第二步求解当半径为r时，伞在满足空投的条件下的最大载重质量M(r)由可知：V(m)是关于m的增函数（证明见附录一）。因为V(m)的反函数为m(V)，由原函数与反函数单调性

7、一致的性质可知，m(V)是关于速度V的递增函数。因此，在所取半径为r的伞在满足空投的条件下最大的载重质量M(r)就是在速度V取最大值时取得。即V=20m/s，则M(r)由以下方程组求出由方程组导出（推导过程见附录二）：由题中所给H=500m,v=20m/s,k=2.944代入（5）式，得又，分别代入表1中的半径r=2,r=2.5，r=3，r=3.5，r=4然后利用Mathematica4解得半径为r的伞在满足空投的条件下最大的载重质量M(r)（详细过程见附录三）数值如下：6M(2)KgM(2.5)KgM(3)KgM(3.5)KgM(4)Kg15

8、1.000236.067340.464462.154603.998（取整）151236340462604（三）、计算每种伞的单价如下：单位/元半径r2