【数学】广东省湛江市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试（理）

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1、广东省湛江市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.请将正确选项的代号填在题后的答题卡内。1.若是虚数单位，且，则的值为（）A.－2B.－4C.2D.42.设命题p：a＞b＞0的必要条件是；命题q：y=sinx不是周期函数，则下列命题中为真命题的是（）　A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∨qD.p∨﹁q3.已知向量=(1,1,0),=(-1,0,2),且k与2互相垂直，则k的值是A．1B．-1C．D．4．设，则是的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要

2、条件5.在数列中，=1，，则的值为（）A．99B．49C．102D．1016．已知椭圆方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是()A．B．C．或D．或7.设满足约束条件,则的最大值为（）A．5      B.3       C.7  D.-88.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　　）　　　　　　　　二、填空题：（5分*7=35分）9.命题“对任意的”的否定是13.设的最大值为14.a，b，c,m,n,表示直线，α,β表示平面，给出下列四个命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若a⊥c，

3、b⊥c，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β⑤.若m⊥α，n∥α，则m⊥n；其中正确命题的有三、解答题：（6个大题，共75分）15.（12分）已知函数，（1）若使，求实数的取值范围；（2）设，命题：在区间上单调递减，命题：方程有两不等的实根，若命题为真，求实数的取值范围。16.(12分)已知△AB的三个顶点在抛物线上运动，(1)求的准线方程；(2)若点A在坐标原点，B，C是抛物线上的动点,且满足，点M是线段BC的中点，求点M的轨迹方程.17．（14分）如图，在长方体中，点E在棱AB上移动.（I）证明：；（II）若E为AB中点，求E到面的距离；（III）AE等

4、于何值时，二面角的大小为18.（14分）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？19．（14分）已知数列各项不为0，，，（1）求的通项。（2）若，求数列的前n项和。（3）用数学归纳法证明：20.（14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并

5、说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;（3）已知,设直线与圆C:(1

6、A1B1

7、取得最大值?并求最大值.湛江一中2014-2015学年度第一学期期末考试高二级理科数学参考答案满分150分考试时间120分钟.命题：陈智浩一选择题：ADBADDCB二填空题：9.10.(-2/3,1)11.412.13.1/5014.②⑤三解答题：7．方法一（I）证明：由三垂线定理（4分）(或证平面AE

8、D也行)（II）设点E到平面的距离为h，由题设可得EADCBA1B1C1D1算得则（9分）（III）过D作，垂足为H，连则为二面角的平面角.设，在直角中，在直角中，在直角中，在直角中，，在直角中，因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为（14分）方法二：以DA，DC，DD1建立空间坐标系，设，有（I）证明：因为，所以，（4分）（II）解：E是AB中点，有，设平面的法向量为则也即，得，从而，点E到平面的距离（9分）（III）设平面的法向量为由令，得则于是（不合，舍去），即时，二面角的大小为（14分）18．解：设裁员人，可获得的经济效益为万元,则=（6分）依

9、题意≥∴0<≤.（8分）又140<<420,70<<210.(1)当0<≤,即70<≤140时，,取到最大值;(2)当>,即140<<210时，,取到最大值;综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.（14分）19.解：（1）数列各项不为0，，，得（3分）（2），（1）（2）（1）-（2）得：（8分）（3）　①当n＝2时，左＝>0＝右，∴不等式成立．（9分）②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即＋＋…＋>成立．那么n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不

10、等式对一切n∈N*且n≥2时成立．（1