【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第08讲 归纳、猜想、证明(含详解)

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1、数学高考综合能力题选讲8归纳、猜想、证明题型预测观察、归纳、猜想、证明是解决探索性问题的重要思维方法,也是高考考查的热点.范例选讲例1.已知数列满足,对于任意的n∈N,都有>0,且.又知数列满足:.(Ⅰ)求数列的通项以及它的前n项和;(Ⅱ)求数列的前n项和;(Ⅲ)猜想和的大小关系,并说明理由.讲解:是关于的二次齐次式,故可利用求根公式得到的更为明显的关系式,从而求出.(Ⅰ)∵>0(n∈N),且,∴(n+1).∴.∵>0(n∈N),∴.即.∴.又,所以,.∴.(Ⅱ)∵,∴.(Ⅲ).当n=

2、1时,,∴;当n=2时,,∴;当n=3时,,∴;当n=4时,,∴;当n=5时,,∴;当n=6时,,∴;猜想:当时,.即.下用数学归纳法证明:1°当n=5时,前面已验证成立;2°假设(k≥5)时命题成立,即成立,那么当n=k+1(k≥5)时,.即n=k+1(k≥5)时命题也成立.由以上1°、2°可知,当n≥5时,有;综上可知:当n=1时,;当时,,当n≥5时,有.点评:注意到的增长速度大于的增长速度,所以,在观察与归纳的过程中,不能因为从n=1到n=4都有就得出的结论,而应该坚信:必

3、存在,使得,从而使得观察的过程继续下去.例2已知数列中,.(Ⅰ)是否存在自然数m,使得当时,;当时,?(Ⅱ)是否存在自然数p,使得当时,总有?讲解:(Ⅰ)首先考虑能否化简已知条件,但事实上这一条路走不通,于是,我们转而考虑通过计算一些的值来寻找规律.不难得到:,,,,,,可以看出:均大于2,从到均小于2,但能否由此断定当时,也有?这就引导我们去思考这样一个问题:若,能否得出?为此,我们考查与的关系,易得.可以看出:当时,必有.于是,我们可以确定:当时,必有.为了解决问题(Ⅰ),我们还需验证当时,是

4、否均有.方法之一是一一验证.即通过已知条件解出:.由此,我们可以从出发,计算出这个数列的第6项到第1项,从而得出结论.另外,得益于上述解法,我们也可以考虑这样的问题:“若,能否得出”?由不难得知:上述结论是正确的.所以,存在,使得当时,;当时,.(Ⅱ)问题等价于:是否存在自然数p,使得当时,总有.由(Ⅰ)可得:.我们已经知道:当时,,于是,所以,我们只需考虑:是否存在不小于10的自然数p,使得当时,总有?观察前面计算的结果,可以看出:,均大于-3,可以猜想:即可满足条件.这样的猜想是否正确?我们只

5、需考查与的关系:由可知:上述结论正确.另外,如果我们注意到从到,数列的项呈递增的趋势,则也可以考虑.由〉0,从而得出结论.点评:(1)归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的,并非无源之水、无本之木.(2)上述分析的过程如果用数学归纳法写出,则相当简洁,但同时也掩盖了思维的过程.

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