柯西中值定理的证明及应用

《柯西中值定理的证明及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、柯西中值定理的证明及应用湖南科技大学本科生毕业设计（论文）湖南科技大学本科生毕业设计（论文）摘要本论文首先讨论了柯西中值定理的四种证明方法；其次对柯西中值定理的应用进行初步探索，列举了其在求极限、不等式与等式的证明等方面的应用.关键词：柯西中值定理；罗尔定理；达布定理；闭区间套定理-i-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-ii-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）ABSTRACTThisthesisdiscussedthefirstcauchyvalueofthelawofthefourtypesofprooftothesecondmethod；cauchyvalueofthelawo

2、ftheinitialapplicationtoexploreandtoitslimit,inequalitiesandtheequalitythattheapplication.Keywords:Cauchymeanvaluetheorem；Rolletheorem；Daabtheorem；Closeofthetheorem.-iii-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-iv-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）目录第一章前言………………………………………………………1第二章柯西中值定理的证明……………………………………22.1利用罗尔定理证明柯西中值定理……………………………………

3、22.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理………………………………32.3利用反证法证明柯西中值定理………………………………………62.4利用达布定理证明柯西中值定理……………………………………7第三章柯西中值定理的应用……………………………………103.1柯西中值定理在求极限中的应用……………………………………103.2柯西中值定理在证明题中的应用……………………………………113.2.1柯西中值定理在证明不等式中的应用…………………………113.2.2柯西中值定理在证明等式中的应用……………………………123.2.3柯西中值定理在证明连续性中的应用…………………………14第四章总结

4、………………………………………………………16参考文献…………………………………………………………17致谢…………………………………………………………………18-v-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-vi-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第一章前言微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Larange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理.而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其叙述如下：柯西中值定理[1]若f?x?与g?x?在?a,b?上可导，且g?x??0，则在?a,b?内至少存在一点?，使f?b??f?a?g?b??g?a??f????

5、g?????1?其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题.本文主要讲解了证明柯西中值定理的四种方法及其应用，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分学知识，熟练的运用相关的知识解决实际问题.--1--湖南科技大学本科生毕业设计（论文）--2--湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第二章柯西中值定理的证明本章主要讲解了柯西中值定理的四种证明方法：利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布定理和反证法证明.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理[2]设函数在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?上可导，而且在两端点处函数f?x?的值相等

6、?f?a??f?b??，那么在开区间?a,b?上至少有一点c，使得f?x?在这点的导数等于零?f??c??0?.证明设M和m分别是f?x?在区间?a,b?上的最大值和最小值.由于f?x?在?a,b?上是连续的，所以f?x?的最大值和最小值是存在的.如果等式M?m?f?a?成立，那么对于一切x??a,b?都有f??x??0.如果M?f?a?和m?f?a?不能同时成立，那么M和m这两个数中间至少有一个不等于数f?a?，为了确切起见，设M是这样的数.于是，在开区间?a,b?的某点c，函数f?x?达到闭区间?a,b?上的最大值，因而在这点f?x?同时有局部极大值。因为在点c的导数f??c?存

7、在，所以根据费尔马定理，它等于零.m?f?a?的情况可以类似的讨论.下面证明柯西中值定理证明引入函数F?x????g?b??g?a???f?x????f?b??f?a???g?x?这个函数在?a,b?上显然是连续的，而且在开区间?a,b?上有导数.此外，F?a??F?b?.因此根据罗尔定理可以找到这样的点c??a,b?，使得，F??c??0，即??g?b??g?a???f??c????f?b??f?a???g??c??2?数f??c??0，否则的话，由于f