线性代数(复旦版)习题详解

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1、《线性代数》习题参考习题一1.解：（1）.（2）（3）（4）（5）（6）.2.解：（1）对排列34215而言，3与2,1分别构成一个逆序，4与2,1也分别构成一个逆序，2与1也构成一个逆序，所以。（2）对排列4321而言，4与3，1，2分别构成一个逆序，3与1,2也分别构成一个逆序，所以。（3）对排列而言，与均分别构成一个逆序，其逆序数为；与也分别构成一个逆序，其逆序数为，依次类推，2与1也构成一个逆序，因此有（4）对排列而言，3与2构成一个逆序，其逆序数为1；5与4,2分别构成一个逆序，其逆序数为2

2、；……；分别与构成一个逆序，其逆序数为；分别与构成一个逆序，其逆序数为，……；4与2也构成一个逆序，其逆序数为1；因此有1153.解：在四阶行列式中，含因子的项只有两类，分别为和，下面分别判断这两项的符号，因为行标排列已经是自然排列，故只须计算列标排列的逆序数。因为，，所以含的项分别为和。4.解：（1）（2）（3）（4）.115（5）.（6）.（7）.（8）.1155.证明：（1）.（2）（3）6.解：（1）因为是方程的3个根，那么必然满足115，将其展开得，由对应项系数相等可知，即因此（2）在此四阶

3、行列式中，能出现的因子的项只有。由于行标排列已是自然排列，故只须判断列标排列的逆序数，即，所以的符号为负，因此的系数是。（3）由定理4.1知（4）由定理4.1可知7.解：（1）115（2）.（3）115.（4）.8.解：（1）故（2）故.1159.解：齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式由得或.习题二1.解：1152.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.3.解：（1）（2）（3）4.证明：（1）115设矩阵，则根据矩阵的加法与乘积的定义有矩阵中第行第列的元素矩阵中第行第列的元素由此可以看出，矩

4、阵和中的元素一一对应相等因此有（2）设矩阵，则根据矩阵乘积的定义有中第行第列的元素且中第行第列的元素因此.5.证明：（1）设对角矩阵，，则有仍为对角矩阵因此，对角矩阵与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。115（2）设上三角阵，，则可以看出，仍为上三角阵因此，上三角阵与上三角阵的乘积仍为上三角阵同理可证，下三角阵与下三角阵的乘积仍为下三角阵。6.解：设与可交换的矩阵为，则，由可知，这两个矩阵各行各列的元素分别对应相等，根据所得的九个方程可得，因此，所有与可交换的矩阵为，其中。7.解：当和可交换时，下列等式成立

5、。（1）（2）8.解：（1）（2）因为，，，，115，，，由此可以看出，当时，当时，当时，当时，其中。（3）因为所以，当为偶数时，；当为偶数时，。（4）115（5）因为，，，所以（6）因为，，，，由数学归纳法可以证明，。9、解：，，所以11510、解：设，，则，又因为，，所以11、解：（1）（2）12、证明：用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。假设当时等式成立，即当，有所以当时，结论成立，因此13、证明：（1）因为都是阶对称矩阵，所以有因此故是对称矩阵，是反对称矩阵。（2）因为，所以是对称矩阵，也是

6、对称矩阵。14、证明：因为为对称矩阵，所以115故也是对称矩阵。15、解：（1）经计算，知可逆，且，故（2）经计算，知可逆，且故（3）经计算，知可逆，且故（4）经计算，知可逆，且115故16、解：（1）（2）（3）（4）由得，即17、解：由，得从而所以11518、解：由，得，从而19、解：20、解：21、证明：（1）充分性设，则必要性设，因为，所以从而，即（2）假设当时，是可逆矩阵，则存在矩阵，使得由（1）知当时有，对其两边同时右乘，得，即，从而，这与是的非零列矩阵相矛盾，故当时，是不可逆矩阵。22、

7、证明：（1）由，得，故，因此可逆，且，由知，也可逆，且。（2）由，得，同取行列式，得，从而或，所以与中至少有一个是奇异方阵。23、解：由，得即，所以24、证明：由知，即，所以115可逆，且25、证明：用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。假设当时等式成立，即当时，有此时结论也成立，因此当为正整数时有。26、解：因为，且而易求得故27、解（1）（2）11528、证明：（1）假设，则可逆。在两边右乘可得，即是一个零矩阵。由的定义可知，这与可逆矛盾，所以当时。（2）若，则可逆，对两边左乘，可得，从而若，则由

8、（1）知。29、解：（1）从而因为，所以（2），从而，115因为所以30、解：（1）所以（2）所以31、解：（1）由于，所以（2），115由于所以（3）由于，所以32、解：。在中划去一行，则这一行元素可以分成两类，一类是这一行可由其他行元素经过初等变换得到，则不改变的秩，此时；另一类是这一行不可由其他行元素经过初等变换得到，则有。11533、解：（1）所以（2）所以（3）所以（4）所以（此题答案为2）34、解：（1）115所以（2）所以（3）115所以.