数与代数问题答疑

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1、“数与代数”问题答疑湖南省中小学教师继续教育指导中心  胡惠明 问题1.可以从哪些方面理解分数的意义？简答：教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面：两个主线：即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。四个层面：“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的1∕4。又例如，长方形中的一部分是整个长方形的1∕3，

2、整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的1∕4和1∕3所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的5∕3倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如3∕4里面有3个1∕4，就是用分数1∕4作为单位度量3次的结果。著名数学家华罗庚曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可

3、以直接作用于分数加（减）法的学习中。“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，求6张纸的是多少张纸，学生将2∕3理解为整体6张纸的2∕3，即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6÷3×2，也就是6×2∕3。“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。 2．如何帮助学生理解分数的意

4、义？简答：在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是个，把一张纸平均分为四份其中的一份是，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。（1）分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。（2）分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数这是“部分—整体”的另外一种形式

5、，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃子看作“单位1”平均分成2份，每份2个占整体的。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数 3．问题解决与传统“应用题”有何区别？简答：主要的区别有：(1)结果与过程：应用题更多的强调尽快获得答案；而问题解决是强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视问题

6、解决的过程，寻求问题解决的方法和策略比获得一个结论本身来的更重要。（2）知识点的依附：应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法，就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，原来的应用题常常是依附在某一个知识点的背景下；而问题解决是强调针对具体的一个真实的情景，它更多的强调综合解决问题的过程。例如今天讲完加法后，问题解决的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。（3）问题的分析：应用题教学把应用题归成类，集中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而问题解决强调的是具体问题具体分析，换句

7、话说就是在一种新的情境中如何运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能一个问题跟着一个问题。它更具有挑战性，更具有新意。（4）问题的开放性和多元性：问题解决中的问题具有开放性和多元性，而过去的应用题应用问题在这方面相对弱一些。 4．有哪些常用的解决问题的策略？简答：常用的解决问题的策略主要有：（1）画图。把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难，如果适时的让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的

8、策略。为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体