数学竞赛训练题四

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1、数学竞赛训练题四一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设函数如果那么的值等于()A.3B.7C.-3D.-72.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是()A.圆或椭圆B.椭圆或双曲线C.双曲线或抛物线D.抛物线或椭圆3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1=,则=()A,1B.-1C.2+D.-2+4.已知,定义,则(    )A.B.C.D.5.已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两

2、点,交于R,则  (    )A.B.C.D.6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,则△ABC()A.是等腰三角形,但不是直角三角形B.是直角三角形,但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形,也不是直角三角形二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则

3、x

4、-

5、y

6、的最小值是_________.8.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a(3)a是a

7、,b,c,d中的最小数8那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9.设则关于的方程的所有实数解之和为10.若对

8、x

9、≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________.11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为。12.对每一实数对(x,y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题(每小题20分,共60分)13.已知a,b,c∈R+,且满足≥(a

10、+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2,Q是上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。815.数列定义如下:,且当时,已知,求正整数n.8数学竞赛训练题四答案一、选择题1.设函数如果那么的值等于()A.3B.7C.-3D.-7解:取,而当,所以,故选C.2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的

11、一部分,则该曲线是()A.圆或椭圆B.椭圆或双曲线C.双曲线或抛物线D.抛物线或椭圆解:把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题,容易的出答案D3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1=,则=()A,1B.-1C.2+D.-2+解:xn+1=,令xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1,x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1,……,∴有。故选A。4.已知,定义,则(    )A.B.C.D.解:计算可知是最小正周期为6的函数。即得,所以8=,故选C.

12、5.已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点,交于R,则  (    )A.B.C.D.解:分别做由相似三角形的性质,得,又有双曲线的第二定义,得故平分所以选C.6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,则△ABC()A.是等腰三角形,但不是直角三角形B.是直角三角形,但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形,也不是直角三角形解:由logx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=

13、2sinA,因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A=,而sinA>0,∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、填空题7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则

14、x

15、-

16、y

17、的最小值是_________.答案:。由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方

18、程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。8.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a(3)a是a,b,c,d中的最小数那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_____

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