5函数逼近与曲线拟合

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1、第5章函数逼近与曲线拟合上一章讨论的是函数插值问题，通常都是用一个多项式来代替一个已知的函数，它们在给定的插值基点上有相同的函数值，是对原函数的一种近似。然而，在实际应用中插值问题仍有明显的缺点：对于有解析式的函数而言，在其它点上误差可能很大，如龙格现象；对于离散（表）函数而言，给定的数据点本身是有误差的，刚性地让插值函数通过这些点不仅没有意义，而且会影响对原函数的近似程度。另外，泰勒展示也是对连续函数的一种低阶近似，它在展开点附近误差较小，但在展开点远处，误差会很大。本章讨论在新的函数误差度量条件下

2、的函数近似问题，对连续函数称之为函数逼近问题，对于离散函数称之为曲线拟合问题。主要内容有：函数最佳逼近的概念，正交多项式，最佳均方逼近与最小二乘曲线拟合问题等。5.1函数最佳逼近的概念希望能有一种方法寻求出一个近似多项式，使它在整个区间上既均匀的逼近，所需的计算量又小，这就是函数逼近要解决的问题。为了刻划“均匀逼近”，设是定义在区间[a,b]上原函数的近似多项式。我们用来度量与近似逼近程度。这样，自然地会有下面两种不同的度量标准：（5-1）使用这个度量标准的函数逼近称为均方逼近或平方逼近；（5-2）使

3、用这个度量标准的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近。关于一致逼近的问题，在数学分析中有以下结论。设函数在区间[a,b]上连续，若，则存在多项式使，在区间[a,b]上一致成立。对于函数插值而言，如果插值余项也能满足对任意的，都成立的话，则插值多项式是的一致逼近多项式。如分段线性插值多项式，可惜的是分段线性插值多项式的光滑程度不好，而大多数的插值多项式不满足一致逼近的条件。对于一致逼近，在此不予进一步讨论，本章仅讨论最佳均方逼近。最佳均方逼近是以函数的2-范数来度量近似程度的，为此首先引入函数内积的概念。连续

4、意义下函数的内积定义为（5-3）24其中为给定的权函数。由此定义连续意义下的欧氏范数即2-范数为（5-4）设有点列，并且。记函数在点列处的值向量为离散意义下内积定义为函数值的内积（5-5）其中为给定的权数。由此定义离散意义下的欧氏范数即2-范数为（5-6）两种意义下的实内积都满足非负性、可交换性、齐次性、可加性和正定性，欧氏范数都满足正定性、齐次性和三角不等式。若两个函数的内积等于零，称这两个函数正交。5.2最佳均方逼近5.2.1最佳均方逼近记是次数不超过次的多项式全体。若存在，使（5-7）则称是在上

5、的最佳均方逼近多项式。设，则求最佳均方逼近多项式，就是求一组系数使由于积分是待定系数的多元函数，记做，则由多元函数极值的必要条件可得方程组整理后得（5-8）24称为法方程，记其系数矩阵为，即（5-9）在后面将证明，从而可唯一确定出，使为所求的最佳均方逼近多项式。例5-1设，求上的一次最佳均方逼近多项式。解设，由法方程形式可知所以而于是法方程为解出24故其均方误差.5.2.2最佳均方逼近函数的存在性定理5-1函数组在上线性无关的充要条件是由它们内积构成的行列式（称为克莱姆行列式）证明设存在一组数使依次用

6、与上式两端做内积，有这是一个关于的齐次线性方程组，由克莱姆法则，该方程组有唯一零解的充要条件是。所以当时，只有零解，线性无关；若线性无关，方程组有零解，此时。例如，由于函数组在任意区间上是线性无关的，则其构成的克莱姆行列式24设不超过n次的多项式是上的连续函数且线性无关，则其可以作为不超过n次的多项式空间的一组基。令是任意实数，由线性代数可知它们线性组合的全体构成一个线性空间，称为由生成的线性空间，记作定理5-2设是上的连续函数，则存在唯一的，使并且有证明记求最佳均方逼近函数等价于求一组系数，使多元函

7、数达到最小。由多元函数极值的必要条件，有整理后可得法方程即（5-10）亦即这是关于待定系数的一个非齐次线性方程组。由于线性无关，由定理5-1，该方程组有唯一解，使。24下面再证明这样得到的确实为最佳均方逼近函数，即令其中从而即有以下求均方误差。由于由法方程（5-10）式，得从而即与正交，故与空间正交，得。从而，平方误差24故最佳均方逼近的均方误差为（5-11）该定理不仅表明了最佳均方逼近函数的存在唯一性，其证明过程也给出了确定最佳均方逼近函数的途径是求解线性方程组（5-10）式。不过若基函数族选取不当

8、，会遇到病态方程组的情形。5.3曲线拟合的最小二乘法5.3.1离散点列的最小二乘拟合在实际问题中有时只能知道的一组点列，而不知道的确切表达式。已知数据本身可能是测量或实验得到的而带有误差，采用插值法显然不是好的方法。将最佳均方逼近的思路应用于带权的离散点列上，便得到曲线拟合的最小二乘法。设给定一组数据，是所在区间上的连续函数集合，是上的一个权函数，若存在是误差平方和（5-12）则称是上关于点列的最小二乘逼近函数，求的方法称作最小二乘法。设24则求就转化为