2008年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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1、2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1．设，，且，则代数式的值为（B）5.7.9.11.提示：是方程两个不同根，故.2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（D）.4...提示：，可得，故中由勾股定理得3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（C）....提示：卡片一共有20种取法，其中，满足条件的有种.4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别

2、在直线和直线上，则（B）...和的大小关系不确定.提示：都是等腰三角形.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（B）....提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是6．已知实数满足，则的值为（D）4共4页第页.2008..1.提示：，同理，故.二、填空题1．设，则_________.-2提示：2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为___________.提示：3．已知二次函数

3、的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则__________.提示：满足条件.4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.第二试（A）一、已知，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解：设，则==4共4页

4、第页当时，，当时，，故.若，则，，不恒大于等于0，故即，同理.当时，（1）当，即时，，故，即.（2）当，即时，综上所述，最小值是，此时或.二、如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.解：(1)连接，则，又，故等腰，.由于为圆的切线，故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍，即半径所在直径通过弧的中点，即点在圆上.（2）连接，则，故，又，故，即，且当为圆的直径时可以取等号，故的最小值是.4共4页第页三、设为质数，为正整数，且求，的值.解：将原等式整理为

5、关于的一元二次方程：，由于为正整数，则方程判别式是完全平方数，即为完全平方数，设，则，即，由于，故同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当时，检验得不是完全平方数当时，检验得不是完全平方数当时，由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.当时，不是整数，当时，不是整数，当或时，不是质数，当时，是质数，此时只有满足条件，综上所述，，.附：一。（B、C卷）已知，对于满足条件的一切实数对，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.三．（C卷）设为质数，为正整数，且满足，求的值.4共4页第页