复变函数教学大纲(工科)(2)

《复变函数教学大纲(工科)(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、课程编号：×××课程名称：复变函数(ComplexFunctions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。本课程总时数为36学时左右

2、，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。。二、学时分配表教学内容授课学时第一章复数与复变函数41、复数2、复平面上的点集3、复变函数4、复球面与无穷远点习题课第二章解析函数61、解析函数的概念与柯西一黎曼条件2、初等解析函数3、初等多值函数习题课第三章复变函数的积分61、复积分的概念、性质2、柯西积分定理3、柯西积分公式4、解析函数调和函数关系习题课第四章解析函数的幂级数表示法61、复级数的基本性质2、幂级数3、解析函数泰勒展开式4、解析函数零点孤立性及唯一性定理第五章解析函数的罗朗展开式与孤立奇点

3、61、罗朗展式2、孤立奇点3、解析函数无穷远点性质4、整函数亚纯函数习题课第六章残数理论及其应用61、残数的概念、求法及残数基本定理2、用残数定理计算实积分3、幅解原理及其应用习题课机动学时2合计36三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打

4、下基础。基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。重点:复变函数的概念，极限与连续性难点:同上第二章解析函数主要内容：解析概

5、念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。2、熟练掌握初等解析函数的运算。3、知道多值解析函数的概念及其单值解析分支的选取，会将指数函数、幂函数、三角函数及双曲函数等用其多值的反函数表示。重点：解析函数的概念与柯西黎曼条件难点：对多值函数注重讨论第三章复变函数的积分主要内容：复积分概念及一些计算方法，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及其一系列推论，解

6、析函数与调和函数关系。要求：1、知道复积分概念与一些简单运算性质，掌握用参数式及曲线积分计算复积分。2、理解Cauchy积分定理及Cauchy积分公式，知道解析函数的不定积分，了解解析函数的无穷可导性，掌握Cauchy不等式及Liouville定理与Morera定理。3、掌握解析函数与调和函数的关系，掌握求共轭调和函数方法及由解析函数的实(虚)部求解析函数的方法。重点：柯西积分定理；单连通，多连通区域情形，不定积分。难点：柯西积分公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理。代数基本定理的证明，摩

7、勒拉定理。第四章解析函数的幂级数表示法主要内容：复级数及其性质，幂级数的收敛性质与收敛半径，解析函数的Taylor展开式，解析函数零点的孤立性与唯一性定理与最大模定理。要求：1、了解复数级的概念及一致收敛性质在运算性质中的应用。2、掌握幂级数收敛半径的计算。3、熟练掌握解析函数的幂级数展开与幂级数求和。4、了解解析函数零点的孤立性，零点的阶数。5、掌握唯一性定理及最大模原理。第五章解析函数的Laurent展开式与孤立奇点主要内容：Laurent展开式定义及其与解析函数关系，孤立奇点定义与分类，解析函数的

8、无穷远点，整函数与亚纯函数。要求：1、了解Laurent展开式定义及其与解析函数的关系，会利用求解析函数的Taylor展开式求Laurent展开式。2、熟练掌握孤立奇点的定义与分类，三类孤立奇点的判别方法。3、熟练掌握极点阶数的判别及Laurent展开式的计算。4、知道讨论无穷点处解析函数的性质。5、了解整函数与亚纯函数概念及其简单性质。重点：解析函数的罗朗展式及在孤立奇点领域内的展式。难点：解析函数的孤立奇点的定义及其分类，解析函数在孤立