“初等数论初步”简介

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1、“初等数论初步”简介　初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法

2、求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生： 1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。 2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（

3、Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。 3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。 6．通过实例（如物不知其数问题），

4、理解一次同余方程组的模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．理解费马小定理（当m是素数时，am-1≡1(modm)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(modm),其中φ(m)是1，2，…，m-1中与m互素的数的个数）及其证明。 9．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排 本专题共安排了四讲，其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排，可由教师讲授，也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲 整数的整除                           

5、           约5课时 一、整除的概念和性质　　　　　　　　　　　　　     约2课时 二、最大公因数与最小公倍数　　　　　　　　　　　　　约2课时 三、算术基本定理　　　　　　　　　　　　　　　　　  约1课时 第二讲　同余与同余方程　　　　　　　　　　　　　　　　　约7课时 一、同余     　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　约1课时 二、剩余类及其运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　约2课时 三、费马小定理和欧拉定理　　　　　　　　　　　　　　约1.5课时 四、一次同余方程　　　　　 　　　　　　　　　　　　　约1

6、课时 五、拉格朗日插值法和孙子定理　　　　　　　　　　　 　约1课时 六、弃九验算法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　约0.5课时 第三讲　一次不定方程　　　　　　　　　　　 　　　　　　约3课时 一、二元一次不定方程　　　　　　　　　　　　　　　　　约1课时 二、二元一次不定方程的特解　　　 　　　　　　　　　　约1课时 三、多元一次不定方程　　　　　　　 　　　　　　　　　约1课时 第四讲　数论在密码中的应用　　　　　　　　　　　　　　　约2课时 一、信息的加密与去密　　　　　　　　　　　　　　　　约1课时 二、大数分解和公开密约　

7、　　　　　　　　　　　　　　　约1课时 学习总结报告　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      约1课时 本专题的知识结构如下：              1．初等数论中有许多知识和问题是比较通俗易懂的。许多学生在小学就学习了整数的分解、素数和整除性的简单知识。少数学生在中学阶段为参加数学竞赛的需要，通过课外活动进一步学习了同余和不定方程的初步知识。但是，初等数论中不少问题，说起来容易，做起来很难。因此，有些教师和学生可能认为本专题的学习太难，不愿意去教和学。事实上，本专题学习的目的不是训练学生去做初等数论的难题，为数学竞赛服务，而是

8、介绍初等数论中最基本的概念、方法和思想，使学生对初等数论及其应用有一个初步的认识，通过介绍初等数论的一些历史背景知识（如历史人物和历史名题），开阔学生的眼界，同时了解我国古代数学