第3章 导数 极大值与极小值

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1、3.3.2　极大值与极小值课时目标　1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________．我们把f(a)叫做函数的__________；f(b)

2、叫做函数的__________．极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在______________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求函数f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是_________

3、_；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．一、填空题1．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在极小值，则成立的结论为________．(填序号)①当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；②当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；③当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；④当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.2．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，

4、在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝______.3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围为________．4．函数f(x)＝x＋在x>0时有________．(填序号)①极小值；②极大值；③既有极大值又有极小值；④极值不存在．5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．6．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.7．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>

5、0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．二、解答题9．求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.10.设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．能力提升11．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a

6、数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．3．3.2　极大值与极小值知识梳理1．f′(x)<0　f′(x)>0　f′(x)>0　f′(x)<0极小值　极大值　极值　某一点附近　局部2．导数为零　不一定3．(1)f′(x0)>0　f′(x0)<0　极大值　(2)f′(x0)<0　f′(x0)>0　极小值　(3)不是极值作业设计1．③解析　∵f(x)在x＝

7、1处存在极小值，∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，故③成立．2．－3　－9解析　由题意y′＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和3，∴由根与系数的关系得，－1＋3＝－，－1×3＝，∴a＝－3，b＝－9.3．(0,1)解析　f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，解得01，即在(1，＋∞)内f′(x)>0，由得0