分类转化 分散难点 各个击破

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1、分类转化分散难点各个击破――分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如

2、a

3、的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是

4、分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类

5、互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。二.典例精析例1.设00且a≠1，比较

6、log(1－x)

7、与

8、log(1＋x)

9、的大小。（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。解：∵01①当00

10、，log(1＋x)<0，所以

11、log(1－x)

12、－

13、log(1＋x)

14、＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;第7页共7页①当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以

15、log(1－x)

16、－

17、log(1＋x)

18、＝－log(1－x)－log(1＋x)＝－log(1－x)>0；由①、②可知，

19、log(1－x)

20、>

21、log(1＋x)

22、。反思提高：1.本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0

23、（有时还必须会主动地去进行分类），又要在不少问题上学会避免分类，在此题上我们就巧妙避开了对绝对值去除的分类讨论。例2.已知＞0,函数.若在上有最大值,()()=求的取值范围.分析与简解：去掉绝对值得由＞0,＞0知在上单增;有正有负,因此应以1为分类标准.①＞1时,在上单增,无最大值;②时,的最大值;③0＜＜1时,在单调递增,在上单调递减.∴的最大值.综上可知,当时,在上有最大值.反思提炼：确定分类标准是关键，不重不漏是要点！14x14x例3.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。思维启动点：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、

24、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的位置关系进行分类讨论，最后综合得解。解：当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－∴或或∴a≥1或；当a<0时，，解得φ；第7页共7页当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a>。反思提炼：本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用

25、。例4.解不等式>0(a为常数，a≠－)思维启动点：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－0时，a>－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：①当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；②当a＝0时，x>0，解得：x≠0；③当－