08109323102陈锋茂[毕业论文]

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1、本科毕业论文（2012届）题目:有限差分方法在偏微分方程求解中的应用学院:数学与信息科学学院专　　业:数学与应用数学班　　级:08数本一姓名:陈锋茂学号:08109323102指导老师:连新泽完成日期:2012年4月22日目录引言11有限差分格式11.1网格剖分11.2用Taylor级数展开方法建立差分格式31.3隐式差分格式61.4研究有限差分格式稳定性的Fourier方法81.4.1Fourier方法91.4.2判别准则122偏微分方程数值解152.1显性差分格式152.1.1差分格式的建立152.1.2稳定性分析1

2、52.1.3数值例子162.2半显性差分格式172.2.1差分格式的建立172.2.2稳定性分析182.2.3数值算例193时滞偏微分方程组数值解213.1差分格式的建立213.2数值例子22致谢23参考文献24有限差分方法在偏微分方程求解中的应用陈锋茂08数本一摘要：本文主要研究有限差分方法在偏微分方程求解中的应用，阐述了有限差分方法的基本原理及其求解步骤，并介绍了判断有限差分格式稳定性的Fourier方法。对于常系数扩散方程，通过引入扩散项的方法，建立了一个3层条件稳定的显性差分格式，通过数值算例验证了该差分格式的可

3、靠性和精确性。对于一维抛物型方程，在空间上利用四阶紧致差分逼近公式和加权平均思想，构造了一种高精度无条件稳定的半显式差分格式，并用Fourier分析方法证明了该差分格式是无条件稳定的。数值例子表明，所建立的差分格式是有效的。最后对于生态学上一个常见的时滞偏微分方程组，建立了半显式差分格式，对于具体的数值例子，给出了数值解的三维曲面图。关键字：有限差分方法，偏微分方程，数值解，有限差分格式，时滞偏微分方程组引言计算机的飞速发展，正在日益影响着人们对传统数值分析（即计算方法）的认识。近几十年来，人们越来越认识到计算方法的学习

4、与研究离不开计算机，仅靠数学理论的演绎和推导还不能完整地解决实际中的数值问题，要想研制出好的、实用的算法，必须要集合计算机科学。实践证明，计算方法正在日趋明显地成为数学与计算机科学的交叉性学科。科学计算已经和理论计算、实验并列为三大科学方法[1]。偏微分方程定解问题在科学及工程计算中有着广泛的实际背景，人们可以通过偏微分方程对各种自然现象进行描述、解释和预测[2]。随着计算机科学技术的快速发展，现在已经可以通过编制高效的程序对各种偏微分方程问题进行数值求解，偏微分方程数值解法在科学和工程计算中将起着越来越大的作用。诸如大

5、型水坝应力分析、数值天气预报、飞行器设计的风洞实验等许多例子都可以说明求解偏微分方程的数值解在科学和各门工程中的应用是多么重要。对偏微分方程进行数值求解已经成为科学与工程计算的核心内容，当今最普遍的求偏微分方程数值解的方法主要有两类，分别为有限元方法和有限差分方法。目前，这两类方法在应用上有不同的侧重，有限元方法则侧重于定态问题（如椭圆型方程），而有限差分方法则侧重于依赖时间的问题（如抛物型和双曲型方程）。本文主要研究有限差分方法在偏微分方程求解中的应用。1有限差分格式1.1网格剖分因为有限差分方法是离散的，而偏微分方程

6、问题是连续的，因此在用有限差分方法对偏微分方程问题进行数值求解时，必须要把连续的问题进行离散化。因此，就要对所要求解的区域进行网格剖分，求解区域随着所要求解的问题的不同而不同。下面就用几个具体的例子来说明怎么对不同的求解区域给出网格剖分，在这个过程中也我们也引入了一些常用的术语[3]。例1.1对于抛物型方程和双曲型方程的初边值问题，设其求解区域为首先我们在的上半平面作两族平行于坐标轴的直线，这样就把上半平面划分成了24矩形网格。我们称这样的直线为网格线，其交点称为节点或网格点。就一般而言，平行于轴的直线是可以等距的，设其

7、距离为，有时也可以为，称为空间步长。而大多数平行于轴的直线一般是不等距的，这里为了简便起见，一般地也假设它们是等距的，设其距离为，有时也可以记为，称其为时间步长。这样，这两族网格线就可以写作其中。网格节点又可简记为。的网格剖分见图1.1。图1.1例1.2对于抛物型方程和双曲型方程的初值问题，求解区域为上述求解区域的网格剖分是由平行于轴的直线族与平行于轴的直线族所构成的，的网格剖分见图1.2。例1.3求解椭圆型方程的边值问题[4]。假设其求解区域为平面上的一个有界区域，其边界是分段光滑的曲线。取沿轴和轴方向的步长分别为和对

8、该区域进行网格剖分，作两族分别与轴和轴平行的直线与前面的例子一样，我们称两族直线之间的交点为节点或网格点，并记为或简记为。我们仅考虑那些属于的节点。两个节点相邻是指它们沿轴方向（或沿24轴方向）仅相差一个步长。一个节点被称为边界节点（简称边界点）是指该节点的4个相邻节点中至少有一个是不属于的。一个节点被称为内部节点（