8.1平面几何名定理、名题与竞赛题(二试选讲)

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1、§8.1平几名定理、名题与竞赛题平面几何在其漫长的发展过程中，得出了大量的定理，积累了大量的题目，其中很多题目都是大数学家的大手笔，这些题目本身就是典范，这些题目的解决方法则更是我们学习平面几何的圭臬．通过学习这些题目，大家可以体会到数学的美．而且这些题目往往也是数学竞赛命题的背景题，在很多竞赛题中都可以找到他们的身影．本讲及下讲拟介绍几个平几名题及其应用．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)分析如图，即证AC·BD=AB·CD+AD·BC．可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，

2、AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使ÐADE=ÐBDC，由ÐDAE=ÐDBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ÐADB=ÐEDC，ÐABD=ÐECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．用类似的证法，可以得到Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于

3、一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例1(1987年第二十一届全苏)设A1A2A3…A7是圆内接正七边形，求证：=+．证明连A1A5，A3A5，并设A1A2=a，A1A3=b，A1A4=c．本题即证=+．在圆内接四边形A1A3A4A5中，有A3A4=A4A5=a，A1A3=A3A5=b，A1A4=A1A5=c．于是有ab+ac=bc，同除以abc，即得=+，故证．例2．(美国纽约，1975)证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．例1分析：假定其中几个是有理数

4、，证明至少一个是无理数．证明：设⊙O的直径为2R，不妨设P在上，则∠APB=45°，设∠PBA=a，则∠PAB=135°－a．若PA=2Rsina及PC=2Rsin(90°－a)=2Rcosa为有理数，则PB=2Rsin∠PAB=2Rsin(135°－a)=2R(cosa+sina)=R(sina+cosa)即为无理数．或用Ptolemy定理：PB·AC=PA·BC+PC·AB．ÞPB=PA+PC．故PA、PB、PC不能同时为有理数．例3．⑴求证：锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．⑵若DABC为直角三角形或钝角三角形，上面

5、的结论成立吗？证明：如图，DABC内接于⊙O，设⊙O的半径=R，DABC的边长分别为a，b，c．三边的中点分别为X、Y、Z．由A、X、O、Z四点共圆，据Ptolemy定理，有OA·XZ=OX·AZ+OZ·AX，ÞR·a=OX·b+OZ·c．即R·a=OX·b+OZ·c，①同理，R·b=OX·a+OY·c，②R·c=OY·b+OZ·a，③三式相加，得R(a+b+c)=OX(a+b)+OY(b+c)+OZ(c+a)．④但r(a+b+c)=OX·a+OY·b+OZ·c．(都等于三角形面积的2倍)⑤④式与⑤式两边分别相加，得R(a+b+c)+r(a+b+c)

6、=OX(a+b)+OY(b+c)+OZ(c+a)+OX·c+OY·a+OZ·b．故，R+r=OX+OY+OZ．⑵当DABC为直角三角形(∠C为直角)，则O在边AB上，OX=0，上述结论仍成立．当DABC为钝角三角形(∠C为直角或钝角)时，则有R+r=－OX+OY+OZ．证明同上．定理2设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2ÛPQ⊥AB．证明先证PA2-PB2=QA2-QB2ÞPQ⊥AB．作PH⊥AB于H，则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB-2BH)．

7、同理，作QH’⊥AB于H’，则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’，即点H与点H’重合．PQ⊥ABÞPA2-PB2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=

8、d2－r2

9、．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点

10、称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于