由一道习题引发的一点思考

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1、由一道习题引发的一点思考——活用数轴上两点间的距离公式解题安昌镇中学王美芳摘要:数轴上两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式,它可以延伸出很多相关的问题。我们需要活用数轴上两点间的距离公式解题,根据题设条件,构设适当的数轴,利用两点间的距离公式、数与形相结合,可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答。关键字:最值数轴两点之间的距离平面直角坐标系在一次偶然的机会中,学生拿着一份八年级的《一元一次不等式》试卷来问下面这样一道题目:(1)请阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b

2、,A、B两点之间的距离表示为

3、AB

4、.①当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,

5、AB

6、=

7、OB

8、=

9、b

10、=

11、a-b

12、;BOAb0a图4BAObao图3OAB0ab图2O(A)B0b图1②当A、B两点都不在原点时,如图2,点A、B都在原点的右边,

13、AB

14、=

15、OB

16、–

17、OA

18、=

19、b

20、–

21、a

22、=b-a=

23、a-b

24、;③如图3,点AB都在原点的左边,

25、AB

26、=

27、OB

28、–

29、OA

30、=

31、b

32、–

33、a

34、=-b-(-a)=

35、a-b

36、;④如图4,点A、B两点在原点的两边,

37、AB

38、=

39、OA

40、+

41、OB

42、=

43、

44、a

45、+

46、b

47、=a+(-b)=

48、a-b

49、.综上所述,数轴上A、B两点之间的距离

50、AB

51、=

52、a-b

53、.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果

54、AB

55、=2,那么x为;③当代数式

56、x+1

57、+

58、x-2

59、取最小值时,相应的x的取值范围是.其实,这道题前半部分的阅读材料就是在论证数轴上A、B两点之间的距离

60、AB

61、=

62、a-b

63、,应用这个结论,第(2)题中的①②两小题基

64、本上是没有问题的。但是,在做第③小题时,我想学生基本上就要犯困惑了:

65、x+1

66、+

67、x-2

68、,这是什么意思?最小值?怎么求?为什么会有最小值呢?而且放在一元一次不等式中,难道会应用不等式解题?于是,鉴于学生思维的定势(考虑一元一次不等式)和对前面求数轴上两点之间的距离的理解程度,我给她讲解了两种方法:方法一:利用一元一次不等式解题①当x+1>0,x-2>0,即x>2时,原式=x+1+x-2=2x-1>3.②当x+1<0,x-2<0,即x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1>3.③当x

69、+1>0,x-2<0,即-1<x<2时,原式=x+1-(x-2)=3.④当x+1<0,x-2>0,x无解。综上所述,

70、x+1

71、+

72、x-2

73、的最小值是3,此时x的范围是-1<x<2.再考虑,当x=-1或者2时,代数式的值是3,所以完整的x的取值范围应该是-1≤x≤2.方法二:运用数轴上两点之间的距离解题

74、x+1

75、+

76、x-2

77、可以表示为

78、x-(-1)

79、+

80、x-2

81、,那么这就可以看做数轴上表示x的这个点到-1和2这两个点之间的距离之和,这个距离的最小值很明显是3,此时x的范围是-1<x<2.如果x不在这

82、个范围之内,如图5,原式=AB+AC>BC=3;如图6,原式=AC+BC>AB=3.如果x在-1与2之间,如图7,原式=AB+BC=AC=3.同样的,再考虑端点值是满足条件的,所以x的取值范围是-1≤x≤2.ABCABCABC-1x2-12xX-12图5图6图7讲解之后,学生恍然大悟,原来还可以这样做的啊!但是,这一句感叹让我感慨不已,这样一道关于最值的问题是值得我们深思的。八年级学生的知识面还不是很完全,往往他们想到的就是目前我们正在学习的东西,就像上面的这道题,学生就在想是不是、怎样用不等式解

83、啊,思维就定势了,结果就找不到正确的解决路径。再者,在我们之前的学习中,还没有涉及过最值的问题,我们也一直在考量学生的接受程度是否适合做这样的最值问题。可以这么说,现在的八年级学生是基本上接触不到这一类求最值的题目的。那么,是不是因为这样或者那样的原因,我们的学生目前就不需要学会这样的求最值的问题了呢?答案是很明确的。所以,如何活用我们目前已经掌握的知识,并且能够在遇到一些我们没有见到过的问题时能临危不乱,这是我们急需要培养学生应该产生的危机意识。所以,在学生面对数轴上求两点之间的距离的问题的同时

84、,我也在思考:怎么样才能把这个知识点融会贯通呢?毕竟,涉及到这个知识点的题目是可以多变的,比如:解一些特殊的方程、求平面直角坐标系中两点之间的距离等等。针对以上的一些思考,我总结了几点个人的想法:一、用数轴上两点之间的距离公式解特殊的绝对值方程例1:解方程+=4("祖冲之杯"邀请赛试题)解:是x与1两点的距离,是x与5两点距离,x在数轴上的位置有3种情况:如图(1)x在1与5之间(2)x在1的左边(3)x在5的右边显然,x在1和5之间(包括1和5)原方程成立。所以,1≤x≤5。例2

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