高考热点递推数列问题分类解析

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1、高考热点——递推数列问题分类解析近年来的高考数学试题中,常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题,这些问题综合性强、思维力度大,能力要求高,是同学们感到棘手的一类疑难问题。本文从思路、方法到一般结论与模型,进行深入浅出的分类解析。  1、线性递推问题    此类问题的一般模型是已知(或可求得)线性递推关系:an+1=can+d,a1=b(其中b,c,d均为常数,且c≠0,1)求通项an。常用下述方法求解:  1.1递推法  即以an+1=can+d作为递推公式直接进行递推,并归纳得到通项an。  an=can-1+d=c(can-2+d)+d=c2

2、an-2+(1+c)d=c2(can-3+d)+(1+c)d=c3an-3+(1+c+c2)d=…  =cn-1a1+(1+c+c2+…+cn-2)d=cn-1b+d=  ∴an=①  1.2解方程组法  由an+2-an+1=c(an+1-an)得:数列{an+1-an}是首项为a2-a1=(c-1)b+d,公比为c的等比数列,  ∴an+1-an=[(c-1)b+d]cn-1=bcn+(d-b)cn-1,解方程组消去an+1即得到通项公式①。  1.3参数法  对an+1=can+d两端同时加上参数t得:an+1+t=can+d+t=c(an+)

3、,令t=,得t=,数列{an+t}是首项为 a1+t=b+,公比为c的等比数列,  ∴an+t=(b+)cn-1,  将t=代入并移项即得到通项公式①。  1.4求和法  对an+1=can+d两端除以cn+1得:  ,即,  ∴+…+()+ =()+  =,  an=cn[]=。  1.5归纳法  即先由不完全归纳法得到猜想通项公式①,再应用数学归纳法进行证明。  [例1](2000年北京春季高考题)已知函数f(x)=-2x+2,x∈[,1],设f(x)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…,an=g(an-1),求数列{an}的通

4、项公式,并求an。  解析:由g(x)=-x+1、a1=1得:a2=g(a1)=,  an=g(an-1)=-an-1+1,  an+2-an+1=(-)(an+1-an),  ∴an+1-an=(a2-a1)(-)n-1=(-)n,  an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(-)n-1+(-)n-2+…+(-)+1=[1-(-)n],  an=。  说明:上述五种方法,实际上是给出了将线性递推数列,转化为可求通项的数列的五种转化的办法,这些转化的思想方法,也常用于解决非线性递推问题,应熟练掌握。  1.6当an

5、+2=pan+1+qan时通项的求法(其中p、q为常数且pq≠0)  引入参数λ1、λ2使an+2-λ1an+1=λ2(an+1-λ1an),  即an+2=(λ1+λ2)an+1-λ1λ2an,与原式比较系数得:  λ1+λ2=p,λ1λ2=-q,  即λ1、λ2是方程λ2=pλ+q②的根,方程②称为特征方程,解之可得λ1、λ2及等比数列{an+1-λ1an},n+1-λ1an=(a2-λ1a1)λ,  利用求和法可求通项。  [例2](2002年春季高考题)已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2

6、的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,…。(I)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n≥3);(II)设an=xn+1-xn,求数列{an}的通项公式;(III)求xn。解析:(I)当n≥3时,xn=;  (II)解λ2=λ+,得λ1=1,λ2=-,∴an+1=-an,∵a1=a,∴an=a(-)n-1(n∈N);  (III)∵xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1,∴xn==a。  2、非线性递推问题  下面列举几种非线性递推问题常见类型及其

7、解法。  2.1关于an+1=can+f(n)型数列通项的求法  此类问题常用上面介绍的前5种方法求解。  [例3](1999年高考试题)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义。求xn的表达式。  解析:记x0=0,依题意有f(xn)-f(xn-1)=bn-1(xn-xn-1)=n-(n-1)=1,  ∴xn-xn-1=()n-1xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x1-x0)+x

8、0=()n-1+()n-2+…+()+1=。  2.2关于=f(n)型数列通项的求法由=f(n)得:an=·

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