高中数学 2.3.1 平面向量基本定理习题1 新人教a版必修4

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1、2.3.1平面向量基本定理考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难基底及用基底表示向量1、36、8、9向量夹角问题2、4综合问题57、10111．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是(　　)A．e1和e1＋e2　　　　　B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1　D．e1＋e2和e1－e2解析：∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线．故不能作为基底，其余三组均为不共线．答案：C2．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，则

2、与的夹角是(　　)A．135°　B．90°C．60°　D．45°解析：作线段AB的延长线AD，则∠DBC是与的夹角，又∠DBC＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：A3.在如图所示的平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)解析：＝＋＝－＝b－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b4．已知向量a，b，c满足

3、a

4、＝1，

5、b

6、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角等于______．解析：作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)，则a与b的夹角

7、为180°－∠C.∵

8、a

9、＝1，

10、b

11、＝2，c⊥a，∴∠C＝60°.∴a与b的夹角为120°.答案：120°5．已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，b.解：由向量夹角的定义，如图．6．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.解：(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.＝＋＝－＝a－b.(2)＝－＝b－a，∵O是BD的中点，G是DO的中点，∴＝＝(b－

12、a)．∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.7.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

13、

14、＝

15、

16、＝1，

17、

18、＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，利用向量加法的平行四边形法则，＝＋＝4＋2，∴λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.8.如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝______.解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.答案：a＋b9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和B

19、C的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.又∵＝a＋b，∴＝(＋)．即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：10．如图，在▱OACB中，＝a，＝b，＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA.证明：设＝λ.则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ)＝λa＋(1－λ)b.＝＋＝a＋b.∵O、E、D三点共线，∴与共线．∴＝.∴λ＝.即BE＝BA.11.如图，已知△ABC的面积为14cm2，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积

20、．解：设＝a，＝b为一组基底，则＝a＋b，＝a＋b.∵点A、P、E与D、P、C分别共线，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又∵＝＋＝a＋μb，∴⇒∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)．∴S△PBC＝14×＝2(cm2)．故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉

21、及的向量向基底化归，使问题得以解决．3．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π]．