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1、2.预备知识在这一节，作为预备知识,我们介绍Banach空间，线性算子和线性算子谱等概念.2.1Banach空间首先引进线性空间和赋范线性空间的定义．定义2.1.1设是一个集合，其中规定了两种运算（“加法”与数乘），使得(1)关于加法构成交换群：，存在，称为与之和，记为,满足，①,②,③存在，使得,④对于每个存在使得.记,称是的负元,(2)数乘运算可行：,存在,称为与的积，记为,满足,①,②,③,则称是线性空间.定义2.1.2设是线性空间，若映射满足(1),(2),(3),(4)时,则称是上的范数，此时记,称是线性赋范空间.我们为了引
2、进Banach空间的定义，我们先引进完备的赋范线性空间的定义．定义2.1.3设是赋范线性空间，是中的一个点列,若，则称是点列.定义2.1.4若中的每个点列都是收敛的，即,使得,则称是完备的.定义2.1.5完备的线性赋范空间称为空间.下面我们举一个空间的例子.例2.1.1是空间.证明：首先，证明空间按范数=，成为一个赋范线性空间．显然，对，有且当且仅当.对(常数)，有=；对，,有,由赋范线性空间定义可知，按范数=，成为一个赋范线性空间．其次，我们证明空间是完备的.设是中任意一个Cauchy点列,其中,，则由Cauchy点列定义,,，有，
3、（2.1.1）于是，对于以及，有.根据Cauchy收敛准则有显然,.在（2.1.1）式中令，则得是按范数收敛于，即是完备的．因此，按范数=成为一个Banach空间．2.2线性算子在这一段，我们介绍线性算子的定义．定义2.2.1设是两个非空集合，是一个对应规则，它使每个,对应惟一的元素，记为,则称是到的一个映射，记作或.叫做映射的定义域，记为称为映射的定义域.定义2.2.2设，都是赋范线性空间，是映射，若,,称是线性算子.下面我们举一个线性算子的例子．例2.2.1设.对于每个阶矩阵,定义使得×.(2.2.1)容易验证是线性算子.若用矩阵
4、表示，式（2.2.1）即.证明：设，下面验证是线性算子.因,.故，所以是线性算子.定义2.2.3设，都是线性赋范空间，，分别是与的共轭空间，.若线性算子满足则称是的共轭算子.例2.2.2设是有界线性算子，是的一组基.令则是闭子空间，．由延拓定理，存在．必要时乘上一个不为0的常数，可设，对于其余的，，即满足称是的对偶基.类似地，若是的一组基，则存在是的对偶基.现在设在基底与之下相应的矩阵，即.若是的共轭算子，与对应的矩阵是，即，则根据共轭算子的定义，应有实际计算可知，.所以.这说明是的转置矩阵.换句话说，从有限维空间到有限维空间的线性算
5、子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.2.3线性算子的谱在这一段，我们介绍线性算子谱的定义.定义2.3.1称是正则算子，若是到上的一一的，并且是有界算子.定义2.3.2设是复的赋范线性空间，是线性算子，(1)若是正则算子，则称是的正则点.(2)若不是正则算子，则称是的谱点.的正则点的全体记为，称是的谱集.(3)特别地，若不是可逆的（即不是一一的），即方程有非零解，则称为的特征值，的特征值的全体记为.(4)若是可逆,但不是到上的，而值空间在中稠密，则称为的连续谱，连续谱的全体记为.(5)若是可逆，而值空间不在中稠密，则称为
6、的剩余谱，其全体记为.定义2.3.3若为的特征值，则对应的特征向量张成空间的维数称为的几何重数.
